Рассматриваются всевозможные пятизначные числа, в которых цифры $9$, $7$, $3$, $1$, $0$ используются ровно по одному разу. Найдите среднее арифметическое этих чисел. Ответ округлите до целого.
Ответ:
Решение:
В числе $2*0*1*6*07*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 5, 6, 7$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $11$-значное число делилось на $75$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В числе $2016****02*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 7, 8, 9$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $11$-значное число делилось на $6$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В числе $2*0*1*6*0*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $10$-значное число делилось на $45$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В числе $2*0*1*6*0*2*$ нужно заменить каждую из $6$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 5, 7, 9$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $12$-значное число делилось на $75$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В числе $2016****02*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 6, 7, 8$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $11$-значное число делилось на $6$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В числе $2*0*1*6*0*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $10$-значное число делилось на $18$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В числе $2*0*1*6*02*$ нужно заменить каждую из $5$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 7, 8, 9$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $11$-значное число делилось на $12$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В числе $2016{*}{*}{*}{*}02{*}{*}$ нужно заменить каждую из $6$ звёздочек на любую из цифр $0, 2, 4, 5, 7, 9$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $12$-значное число делилось на $15$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
В числе $2*0*1*6*0*2*$ нужно заменить каждую из $6$ звёздочек на любую из цифр $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ (цифры могут повторяться) так, чтобы полученное $12$-значное число делилось на $45$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Найдите количество семизначных чисел, в десятичной записи которых могут встречаться только цифры $4$, $5$, $6$, $7$ и таких, что каждая цифра не меньше предыдущей.
Ответ:
Решение:
Петя составляет «таблицу умножения». Слева от таблицы он написал натуральные числа от $10$ до $75$ включительно, сверху — от $11$ до $48$ включительно. После чего записал в таблицу соответствующие произведения пар чисел. Сколько из выписанных произведений являются чётными числами?
Ответ:
Решение:
Сколько существует делящихся на $9$ одиннадцатизначных натуральных чисел, в записи которых участвуют только цифры $0$ и $8$?
Ответ:
Решение:
Через три стороны правильного 30-угольника проводят прямые. Стороны выбирают так, что прямые пересекаются друг с другом, и исходный многоугольник лежит внутри полученного треугольника. Сколько попарно неравных треугольников может получиться? Равными считаются треугольники, которые можно совместить поворотом или отражением.
Ответ:
Решение:
Сколькими различными способами можно выбрать целые числа $a,b,c\in[1;100]$ так, чтобы точки с координатами $A(-1;a)$, $B(0;b)$ и $C(1;c)$ образовывали прямоугольный треугольник?
Ответ:
Решение:
Найдите коэффициент $a_{2024}$ многочлена $P(x)=\left(1+x^{125}+x^{131}\right)^{18}$, если бы он был приведён в форму суммы одночленов вида $a_kx^k$, $k=0,2,3,\ldots,2358$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматриваются ромбы с длиной стороны $5$ такие, что абсциссы и ординаты всех четырёх вершин каждого ромба — целые числа из промежутка $[1;50]$. Сколько существует таких ромбов? Напомним, что квадрат также является ромбом.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$, $P(-14;42)$, $Q(6;42)$ и $R(20;0)$. Найдите количество пар точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $3x_2-3x_1+y_2-y_1=33$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости дан параллелограмм с вершинами в точках $O(0;0)$, $P(-12;24)$, $Q(3;24)$ и $R(15;0)$. Найдите количество пар точек $A(x_1;y_1)$ и $B(x_2;y_2)$ с целыми координатами, лежащих в этом параллелограмме (возможно, на границе) и таких, что $2x_2-2x_1+y_2-y_1=12$.
Ответ:
Решение: