Можно ли так расставить знаки «$+$» и «$-$» на месте звездочек, так, чтобы получилось верное равенство $*\,1^2*2^2*\ldots*2020^2=2020$?
Ответ:
Решение:
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4-3)\times(2+5)+1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить числа $2020, 2021, \ldots, 2028$ на указанные позиции (см. рисунок) так, чтобы сумма чисел, стоящих на каждой стороне треугольника, была одинаковой?
Ответ:
Решение:
Можно ли расставить числа $2016, 2017, \ldots, 2024$ на указанные позиции (см. рисунок) так, чтобы сумма чисел, стоящих на каждой стороне треугольника, была одинаковой?
Ответ:
Решение:
Расставьте знаки арифметических действий и скобки в выражении, состоящем из трёх чисел \[ \frac18\ \ldots\ \frac19\ \ldots\ \frac1{28}\,, \] так, чтобы результат вычислений был равен $\frac{1}{2016}$.
Ответ:
Решение:
Можете ли вы с помощью четырёх арифметических действий (также можно использовать скобки) записать число $2016$, используя последовательно цифры $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$?
Ответ:
Решение:
Петя красит каждую клетку доски $22\times 22$ в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на двухклеточные доминошки. Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше разноцветных доминошек, а Вася — к тому, чтобы их получилось как можно меньше. Наличие какого наибольшего числа разноцветных доминошек может гарантировать Петя, как бы ни действовал Вася? (Напомним, что граница многоугольника — замкнутая ломаная без самопересечений.)
Ответ:
Решение:
Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1. Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна $p-1$.
Ответ:
Решение:
Для каких $k$ можно закрасить на белой клетчатой плоскости несколько клеток (конечное число, большее нуля) в чёрный цвет так, чтобы на любой клетчатой вертикали, горизонтали и диагонали либо было ровно $k$ чёрных клеток, либо вовсе не было чёрных клеток?
Ответ:
Решение:
Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке $(0,0)$ и вершинами в точках с целыми координатами, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк — фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которых можно разбить на двуклеточные доминошки ровно $n\gt 2$ различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)
Ответ:
Решение:
Докажите, что количество способов разрезать квадрат $999\times 999$ на уголки из трёх клеток делится на $27$.
Ответ:
Решение:
Петя раскрасил каждую клетку квадрата $1000\times 1000$ в один из 10 цветов. Также он придумал такой 10-клеточный многоугольник $\Phi$, что при любом способе вырезать из этого квадрата по границам клеток многоугольник, равный $\Phi$, в нём все 10 клеток оказываются разного цвета. Обязательно ли $\Phi$ — прямоугольник?
Ответ:
Решение:
Куб разбит на прямоугольные параллелепипеды так, что для любых двух параллелепипедов их проекции на некоторую грань куба перекрываются (то есть пересекаются по фигуре ненулевой площади). Докажите, что для любых трёх параллелепипедов найдётся такая грань куба, что проекции каждых двух из них на эту грань не перекрываются.
Ответ:
Решение:
Докажите, что при любом разбиении ста «двузначных» чисел $00$, $01$, …, $99$ на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы любые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на $1$, $10$ или $11$, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все $10$ различных цифр.
Ответ:
Решение:
Каждая клетка квадрата $100\times 100$ покрашена либо в белый, либо в чёрный цвет. Оказалось, что у каждой белой клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в белый цвет, а у каждой чёрной клетки ровно две соседних с ней по стороне клетки покрашены в чёрный цвет. Найдите максимальное возможное количество чёрных клеток.
Ответ:
Решение:
Некоторые клетки доски $100\times 100$ покрашены в чёрный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть чёрные клетки, их количество нечётно. В каждой строке, где есть чёрные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. В каждом столбце, где есть чёрные клетки, поставим синюю фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. Оказалось, что все красные фишки стоят в разных столбцах, а синие фишки — в разных строках. Докажите, что найдётся клетка, в которой стоят и синяя, и красная фишки.
Ответ:
Решение:
Из шахматной доски $8\times 8$ вырезали 10 клеток. Известно, что среди вырезанных клеток есть как черные, так и белые. Какое наибольшее количество двухклеточных прямоугольников можно после этого гарантированно вырезать из этой доски?
Ответ:
Решение:
На доску $2018\times 2018$ клеток положили без наложений некоторое количество доминошек, каждая из которых закрывает ровно две клетки. Оказалось, что ни у каких двух доминошек нет общей целой стороны, т. е. никакие две не образуют ни квадрат $2\times 2$, ни прямоугольник $4\times 1$. Может ли при этом быть покрыто более $99\%$ всех клеток доски?
Ответ:
Решение:
Существует ли клетчатый многоугольник, который можно поделить на две равные части разрезом такой формы? Разрез должен лежать внутри многоугольника (на границу могут выходить только концы разреза).
Ответ:
Решение:
Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой чёрной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться $1$?
Ответ:
Решение: