Числа от 1 до 9 расставили в клетки таблицы $3\times3$ так, что сумма чисел на одной диагонали равна 7, а на другой — 21. Чему равна сумма чисел в пяти закрашенных клетках?
Ответ:
Решение:
Денис разбил треугольник на девять треугольничков, как показано на рисунке, и расставил в них числа, при этом в белых треугольниках числа оказались равны суммам чисел в соседних с ними (по сторонам) серых треугольниках. После этого Лёша стёр числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6 и вместо них написал буквы $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ и $F$ в некотором порядке. Получившаяся расстановка чисел и букв изображена на рисунке.
Где какие числа стояли первоначально?
Где какие числа стояли первоначально?
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) стояло число 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) стояло число 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) стояло число 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) стояло число 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) стояло число 5 |
| (f) Вместо буквы $F$ | (6) стояло число 6 |
Ответ:
Решение:
Расставьте цифры от 1 до 6 (каждую нужно использовать ровно один раз) так, чтобы сумма трёх чисел, расположенных на каждой из 7 прямых, была равна 15. В ответе укажите, какие цифры должны стоять на местах $A$–$F$.
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) должна стоять цифра 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) должна стоять цифра 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) должна стоять цифра 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) должна стоять цифра 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) должна стоять цифра 5 |
| (f) Вместо буквы $F$ | (6) должна стоять цифра 6 |
Ответ:
Решение:
Впишите вместо букв $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ цифры 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы сумма цифр во всех прямоугольниках $1\times3$ (и горизонтальных, и вертикальных) равнялась 13. Каждая из цифр от 1 до 5 должна встречаться в таблице ровно один раз.
| 7 | $A$ | |
| $B$ | 6 | $C$ |
| $D$ | $E$ | 8 |
| (a) Вместо буквы $A$ | (1) должна стоять цифра 1 |
| (b) Вместо буквы $B$ | (2) должна стоять цифра 2 |
| (c) Вместо буквы $C$ | (3) должна стоять цифра 3 |
| (d) Вместо буквы $D$ | (4) должна стоять цифра 4 |
| (e) Вместо буквы $E$ | (5) должна стоять цифра 5 |
Ответ:
Решение:
Числитель и знаменатель дроби — положительные числа. Числитель увеличили на 1, а знаменатель — на 100. Может ли полученная дробь оказаться больше исходной?
Ответ:
Решение:
Приведите пример такого выражения, состоящего из единиц, скобок, знаков «$+$» и «$\times$», что
- его значение равно 11;
- если в этом выражении заменить все знаки «$+$» на знаки «$\times$», а знаки «$\times$» на знаки «$+$», то всё равно получится 11.
Ответ:
Решение:
Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?
Ответ:
Решение:
На рисунке два треугольника разделяют листок бумаги на 6 частей (шестая часть — это то, что останется на листе, если вырезать оба треугольника). Нарисуйте два четырёхугольника, которые разделяют лист бумаги на 9 частей. Пронумеруйте полученные части.
Ответ:
Решение:
Число 11 можно представить в виде суммы четырёх квадратов чисел только одним способом, не считая порядка слагаемых: \[11=9+1+1+0=3^2+1^2+1^2+0^2.\] Можно ли число 99 представить в виде суммы четырёх квадратов двумя различными способами?
Ответ:
Решение:
Отмечено 9 точек, как показано на рисунке. Нарисуйте два различных по форме семиугольника с вершинами в отмеченных точках. Для каждого семиугольника сделайте отдельный чертёж.
Ответ:
Решение:
Три медвежонка делили три кусочка сыра массой 10 г, 12 г и 15 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых двух кусочков одновременно откусить и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить медвежатам равные кусочки сыра?
Ответ:
Решение:
Клеточки пирамиды заполнили по следующему правилу: над каждыми двумя соседними числами записали их сумму. Некоторые числа стёрли, и получилась конструкция, изображённая на рисунке. Какое число было в самой верхней клеточке?
Ответ:
Решение:
На девяти карточках написаны числа от 1 до 9 (каждое — по одному разу). Эти карточки выложили в ряд так, что нет трёх подряд лежащих карточек, на которых числа идут по возрастанию, а также нет трёх подряд лежащих карточек, на которых числа идут по убыванию. Затем три карточки перевернули числом вниз, как показано на рисунке. Какие числа на них написаны?
$\boxed{\text{1}}$ $\boxed{A}$ $\boxed{\text{3}}$ $\boxed{\text{4}}$ $\boxed{B}$ $\boxed{\text{8}}$ $\boxed{\text{7}}$ $\boxed{C}$ $\boxed{\text{6}}$
$\boxed{\text{1}}$ $\boxed{A}$ $\boxed{\text{3}}$ $\boxed{\text{4}}$ $\boxed{B}$ $\boxed{\text{8}}$ $\boxed{\text{7}}$ $\boxed{C}$ $\boxed{\text{6}}$
- Число на карточке $A$ равно …
- Число на карточке $B$ равно …
- Число на карточке $C$ равно …
Ответ:
Решение:
На столе стоит 50 гирь попарно различных положительных весов. Может ли случиться, что для любых 24 из этих гирь среди оставшихся гирь можно выбрать несколько такого же суммарного веса?
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что неполные частные от деления $n$ на все натуральные числа от 10 до 1000 включительно — это различные нечетные простые числа, а остатки — составные числа (не обязательно различные)? Напомним, что 0 не является составным числом.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $k$. Из натуральных чисел, не превосходящих $12k^3$, выбраны $6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами.
Ответ:
Решение:
Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500.
Ответ:
Решение:
На графике функции $y=x^2$ отметили 1000 различных точек, абсциссы которых — целые числа из отрезка $[0;100\,000]$. Докажите, что можно выбрать шесть различных отмеченных точек $A$, $B$, $C$, $A'$, $B'$, $C'$ таких, что площади треугольников $ABC$ и $A'B'C'$ равны.
Ответ:
Решение:
У натурального числа ровно 50 делителей. Может ли оказаться, что никакая разность двух различных его делителей не делится на 100?
Ответ:
Решение:
У Пети есть 10 000 гирь, среди них нет двух гирь равного веса. Также у него есть чудо-прибор: если положить в него 10 гирь, он сообщит сумму весов каких-то двух из них (при этом неизвестно, каких именно). Докажите, что Петя может использовать чудо-прибор так, чтобы через некоторое время указать на одну из гирь и точно назвать её вес. (В чудо-прибор нельзя класть другое количество гирь.)
Ответ:
Решение: