На каждой из пяти карточек написано какое-то число. Карточки лежат на столе числами вниз. Мы можем, заплатив рубль, указать на любые три карточки, и нам сообщат сумму написанных на них чисел. За какую наименьшую цену можно наверняка узнать сумму всех пяти чисел?
Ответ:
Решение:
Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 записали по кругу в некотором порядке. Назовём записанное число хорошим, если оно равно сумме двух чисел, записанных рядом с ним. Каково наибольшее возможное количество хороших чисел среди записанных?
Ответ:
Решение:
Вася задумал шесть натуральных чисел: $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$. За рубль можно указать любые два из них и узнать их произведение. Пете известно, что любые два из задуманных чисел взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, больших 1). За какую наименьшую сумму он сможет узнать все задуманные числа?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество различных чисел можно выбрать таким образом, чтобы каждое выбранное число равнялось сумме каких-то трёх других различных выбранных чисел?
Ответ:
Решение:
Лёша хочет выписать на доске несколько натуральных чисел от 1 до 321 так, чтобы никакие два числа не отличались ровно на 11.
а) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать?
б) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
а) Какое наибольшее количество чисел он сможет выписать?
б) Сколько способов выписать наибольшее возможное количество чисел?
Ответ:
Решение:
Дед Мороз раздал подарки 17 ребятам. Во всех подарках различное ненулевое количество конфет, а любые девять ребят получили больше конфет, чем оставшиеся восемь. Какое наименьшее количество конфет мог раздать Дед Мороз?
Ответ:
Решение:
Царство гномов состоит из 20 кланов по 100 гномов. Каждый гном входит только в один клан. Гном считается высоким, если найдется хотя бы 10 кланов, не включая его собственный, средний рост в каждом из которых меньше, чем рост этого гнома. Какое наибольшее количество высоких гномов может быть в царстве?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество прямоугольников $3\times 4$ и $1\times 7$ нужно использовать, чтобы сложить из них квадрат? При складывании нужно использовать хотя бы один прямоугольник каждого типа.
Ответ:
Решение:
Школьный актовый зал представляет из себя квадрат $11\times 11$. На вечернем мероприятии все места были заняты. Каждый из присутствующих сказал: «В моём горизонтальном ряду сидит больше девочек, чем в моём вертикальном ряду». Оказалось, что 60 детей сказало правду, а 61 — неправду. Какое наибольшее число девочек могло присутствовать?
Ответ:
Решение:
По кругу сидят 70 детей. Каждый из них сказал, что сидит между двумя мальчиками. Оказалось, что 50 детей сказали правду, а остальные — соврали.
1. Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
2. Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
1. Какое наибольшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
2. Какое наименьшее количество мальчиков могло сидеть за столом?
Ответ:
Решение:
1. Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение никаких двух различных выбранных чисел не делилось на 12?
2. Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение любых двух различных выбранных чисел делилось на 12?
2. Рассмотрим все натуральные числа от 1 до 100 включительно. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы произведение любых двух различных выбранных чисел делилось на 12?
Ответ:
Решение:
В клетках таблицы $2\times35$ (2 строки, 35 столбцов) расставлены ненулевые действительные числа, причём в верхней строке все числа различны. Для любых двух чисел, стоящих в одном столбце, выполнено следующее условие: одно число является квадратом другого.
1. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице?
2. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке?
1. Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть в этой таблице?
2. Какое наименьшее количество различных чисел может быть в нижней строке?
Ответ:
Решение:
Клетки таблицы $50\times50$ раскрашены в $n$ цветов так, что для любой клетки в объединении её строки и столбца встречаются клетки всех $n$ цветов. Найдите наибольшее возможное количество клеток синего цвета, если
1. $n=2$;
2. $n=25$.
1. $n=2$;
2. $n=25$.
Ответ:
Решение:
В таблице $28\times35$ некоторые $k$ клеток покрашены в красный цвет, ещё $r$ — в розовый, а оставшиеся $s$ — в синий. Известно, что
(Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы. Соседями называются клетки, имеющие общую сторону.)
- $k\geqslant r\geqslant s$;
- у каждой граничной клетки есть хотя бы 2 соседа такого же цвета;
- у каждой неграничной клетки есть хотя бы 3 соседа такого же цвета.
(Клетка называется граничной, если она примыкает к границе таблицы. Соседями называются клетки, имеющие общую сторону.)
Ответ:
Решение:
На плоскости дана точка $P$. Какое наименьшее количество прямых, не проходящих через точку $P$, можно провести на плоскости так, чтобы любой луч с началом в точке $P$ пересекал хотя бы 170 выбранных прямых?
Ответ:
Решение:
На доску выписаны числа 1, 2, 3, $\ldots$, 57. Какое наибольшее количество чисел среди них можно выбрать так, чтобы никакие два выбранных числа не отличались ровно в 2,5 раза?
Ответ:
Решение:
В шахматном турнире участвовали 30 шахматистов, каждый сыграл с каждым ровно один раз. За победу давалось 1 очко, за ничью — $1/2$, а за поражение — 0. У какого наибольшего числа шахматистов по окончании турнира могло оказаться ровно 5 очков?
Ответ:
Решение:
В стране 110 городов. Между каждыми двумя из них либо есть дорога, либо её нет.
Автомобилист находился в некотором городе, из которого вела ровно одна дорога. Проехав по дороге, он оказался во втором городе, из которого вели уже ровно две дороги. Проехав по одной из них, он оказался в третьем городе, из которого вели уже ровно три дороги, и так далее. В какой-то момент, проехав по одной из дорог, он оказался в $N$-м городе, из которого вели уже ровно $N$ дорог. На этом автомобилист своё путешествие прекратил. (Для каждого $2\leqslant k\leqslant N$ из $k$-го города выходило ровно $k$ дорог с учётом той, по которой автомобилист в этот город приехал.)
Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Автомобилист находился в некотором городе, из которого вела ровно одна дорога. Проехав по дороге, он оказался во втором городе, из которого вели уже ровно две дороги. Проехав по одной из них, он оказался в третьем городе, из которого вели уже ровно три дороги, и так далее. В какой-то момент, проехав по одной из дорог, он оказался в $N$-м городе, из которого вели уже ровно $N$ дорог. На этом автомобилист своё путешествие прекратил. (Для каждого $2\leqslant k\leqslant N$ из $k$-го города выходило ровно $k$ дорог с учётом той, по которой автомобилист в этот город приехал.)
Какое наибольшее значение может принимать $N$?
Ответ:
Решение:
Дана белая клетчатая таблица $8\times8$. В ней 20 клеток покрасили в чёрный цвет. Какое наименьшее количество пар соседних по стороне белых клеток могло остаться?
Ответ:
Решение:
На плоскости изображены три прямые и $n$ точек так, что по обе стороны от каждой прямой находится ровно по две точки (точки, лежащие на самой прямой, не относятся ни к одной из сторон). При каких значениях $n$ такое возможно?
Ответ:
Решение: