На конкурсе проектов участвовало 10 команд. Жюри, в состав которого входили председатель и еще 7 человек, оценивали эти проекты и присуждали им места с 1 по 10 по своему усмотрению каждый по следующему принципу. Сначала проекту присуждал место председатель, а затем каждый из членов жюри мог присудить такое место этому проекту в своем списке, которое отличается от мест других членов и председателя не более, чем на три. Победителем признается проект, у которого наименьшая сумма мест, поставленная каждым из восьми членов жюри, включая председателя. Если наименьшая сумма мест у двух или более участников, то победитель определяется особым порядком. Известно, что победитель набрал наибольшую из возможных сумм, а особый порядок присуждения первого места не понадобился. Какая сумма мест была у победителя?
Ответ:
Решение:
На каждой из 99 карточек написано действительное число. Все 99 чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из 99 карточек называется неудачной, если для каждого натурального $k$ от 1 до 99 сумма чисел на верхних $k$ карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
Ответ:
Решение:
На каждой из $99$ карточек написано действительное число. Все $99$ чисел различны, а их общая сумма иррациональна. Стопка из $99$ карточек называется неудачной, если для каждого натурального $k$ от $1$ до $99$ сумма чисел на $k$ верхних карточках иррациональна. Петя вычислил, сколькими способами можно сложить исходные карточки в неудачную стопку. Какое наименьшее значение он мог получить?
Ответ:
Решение:
На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что $2023$ красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все они станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться так, чтобы стать синими?
Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зелёного, укушенный меняет цвет на синий; если зелёный кусает красного, укушенный остаётся красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный хамелеон кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и так далее. (Конкретные правила смены цветов могут быть устроены иначе.)
Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зелёного, укушенный меняет цвет на синий; если зелёный кусает красного, укушенный остаётся красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный хамелеон кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и так далее. (Конкретные правила смены цветов могут быть устроены иначе.)
Ответ:
Решение:
Есть 100 кучек по 400 камней в каждой. За ход Петя выбирает две кучки, удаляет из них по одному камню и получает за это столько очков, каков теперь модуль разности числа камней в этих двух кучках. Петя должен удалить все камни. Какое наибольшее суммарное количество очков он может при этом получить?
Ответ:
Решение:
В однокруговом хоккейном турнире принимало участие $2016$ команд. По регламенту турнира за победу даётся $3$ очка, за поражение $0$ очков, а в случае ничьей назначается дополнительное время, победитель которого получает $2$ очка, а проигравший — $1$ очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее $N$ матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для неё найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?
Ответ:
Решение:
а) В футбольном турнире участвовало 75 команд. Каждая команда играла с каждой один раз, за победу в матче команда получала 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Известно, что любые две команды набрали различное количество очков. Найдите наименьшую возможную разность очков у команд, занявших первое и последнее места.
б) Тот же вопрос для $n$ команд.
б) Тот же вопрос для $n$ команд.
Ответ:
Решение:
После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади $S$. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна $S_1$. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна $S$. Какое наименьшее значение может принимать величина $S_1:S$?
Ответ:
Решение:
Ученикам на входе в школу разрешалось брать из коробки любое количество карандашей. Позже выяснилось, что не менее 60% карандашей, полученных любой группой из десяти человек, оказывались у одного ученика из этой группы. Доказать, что в школе есть ученик, забравший более 58% карандашей, взятых всеми школьниками из коробки.
Ответ:
Решение:
На конкурсе проектов участвовало 12 команд. Жюри, в состав которого входили председатель и ещё $M$ человек, оценивали эти проекты и присуждали им места с 1 по 12 по своему усмотрению, но каждый по следующему принципу. Сначала проекту присуждал место председатель, а затем каждый из членов жюри мог присудить такое место этому проекту в своём списке, которое отличается от мест других членов и председателя не более чем на три. Победителем признаётся проект, у которого наименьшая сумма мест, поставленная каждым из членов жюри, включая председателя. Если наименьшая сумма мест у двух или более участников, то победитель определяется особым порядком. Известно, что победитель набрал наибольшую из возможных сумм — 23, а особый порядок присуждения первого места не понадобился. Чему равно $M$?
Ответ:
Решение:
На конкурсе проектов участвовало 10 команд. Жюри, в состав которого входили председатель и ещё 7 человек, оценивали эти проекты и присуждали им места с 1 по 10 по своему усмотрению каждый по следующему принципу. Сначала проекту присуждал место председатель, а затем каждый из членов жюри мог присудить такое место этому проекту в своём списке, которое отличается от мест других членов и председателя не более, чем на три. Победителем признаётся проект, у которого наименьшая сумма мест, поставленная каждым из восьми членов жюри, включая председателя. Если наименьшая сумма мест у двух или более участников, то победитель определяется особым порядком. Известно, что победитель набрал наибольшую из возможных сумм, а особый порядок присуждения первого места не понадобился. Какая сумма мест была у победителя?
Ответ:
Решение:
На складе находятся товары общей массой 1300 тонн, которые размещены в различные контейнеры. Вес каждого такого контейнера не более 10 тонн. Эти контейнеры грузят в железнодорожные вагоны, вместимость которых не более 60 тонн. Для вывоза товара со склада необходимо сформировать железнодорожный поезд. Какое наименьшее количество вагонов должно быть в этом поезде, чтобы гарантированно вывезти весь товар со склада за один раз? (Размеры контейнеров не учитывать.)
Ответ:
Решение:
В клуб любителей гиперграфов в начале года записались $n$ попарно незнакомых школьников. За год клуб провёл $100$ заседаний, причём каждое заседание посетил хотя бы один школьник. Два школьника знакомились, если было хотя бы одно заседание, которое они оба посетили. В конце года оказалось, что количество знакомых у каждого школьника не меньше, чем количество заседаний, которые он посетил. Найдите минимальное значение $n$, при котором такое могло случиться.
Ответ:
Решение:
За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и 7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с цветом его колпачка и ставит напротив себя, после этого стол поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?
Ответ:
Решение:
За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?
Ответ:
Решение:
Можно ли отметить $k$ вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если: а) $k=6$; б) $k\geqslant 7$?
Ответ:
Решение:
Дано $n$ палочек. Из любых трёх можно сложить тупоугольный треугольник. Каково наибольшее возможное значение $n$?
Ответ:
Решение:
Дана незамкнутая несамопересекающаяся ломаная из 37 звеньев. Через каждое звено провели прямую. Какое наименьшее число различных прямых могло получиться?
Ответ:
Решение:
На окружности расставлены 2009 чисел, каждое из которых равно $+1$ или $-1$, причём не все числа одинаковые. Рассмотрим всевозможные десятки подряд стоящих чисел. Найдём произведения чисел в каждом десятке и сложим их. Какая наибольшая сумма может получиться?
Ответ:
Решение: