Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой чёрной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться $1$?
Ответ:
Решение:
Клетки бесконечного клетчатого листа бумаги раскрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Пусть $X$ — треугольник площади $S$ с вершинами в узлах сетки. Покажите, что есть такой подобный $X$ треугольник с вершинами в узлах сетки, что площадь его белой части равна площади чёрной части и равна $S$.
Ответ:
Решение:
Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая — конечное число чёрных?
Ответ:
Решение:
Из плоскости вырезали равносторонний треугольник. Можно ли оставшуюся часть плоскости замостить треугольниками, любые два из которых подобны, но не гомотетичны?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке квадрата $101\times 101$ стоит один из двух знаков: «поворот» или «прямо». Машинка может въехать извне в любую клетку на границе квадрата (под прямым углом к границе). Если машинка попадает в клетку со знаком «прямо», то она продолжает ехать в том же направлении, что и ехала. Если попадает в клетку со знаком «поворот», то поворачивает на $90^\circ$ в любую сторону по своему выбору. В центральной клетке квадрата спрятаны сокровища. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности попасть в центральную клетку?
Ответ:
Решение:
Квадрат разрезали на конечное число прямоугольников. Обязательно ли найдётся отрезок, соединяющий центры (точки пересечения диагоналей) двух прямоугольников, не имеющий общих точек ни с какими другими прямоугольниками, кроме этих двух?
Ответ:
Решение:
На клетки доски $12\times 12$ положили камни попарно различного веса (в каждую клетку положили ровно один камень). Тройку клеток назовем хорошей, если они расположены в виде «уголка», а камень, лежащий в «вершине» уголка, тяжелее каждого из двух камней, лежащих в двух остальных клетках уголка. Какое наибольшее количество хороших троек клеток может быть на доске? Тройки могут пересекаться.
Ответ:
Решение:
Вася вырезал из волейбольной сетки кусок $35\times35$ ячеек. Петя красит эту сетку следующим образом. Он выбирает любой квадрат (из ячеек сетки) и красит его границу. Какое наименьшее число квадратов он должен покрасить, чтобы вся сетка оказалась покрашенной? Выбираемый квадрат может быть любого размера. Разрешается красить куски сетки несколько раз.
Ответ:
Решение:
В каждой клетке бесконечной клетчатой плоскости записано по одному действительному числу так, что суммы чисел во всех группах клеток, образующих «лесенку» (см. рисунок), одинаковы. Может ли среди записанных чисел быть по крайней мере 89 различных?
Ответ:
Решение:
Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно $6$ других? Напомним, что шахматный конь бьёт $8$ клеток, как показано на рисунке.
Ответ:
Решение:
В клетчатом квадрате со стороной $2018$ часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат $10\times 10$, все клетки которого белые, и квадрат $10\times 10$, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем $d$ можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат $10\times 10$, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на $d$?
Ответ:
Решение:
Доска $2010\times 2011$ покрыта доминошками $2\times 1$; некоторые из них лежат горизонтально, некоторые вертикально. Докажите, что граница горизонтальных доминошек с вертикальными имеет чётную длину.
Ответ:
Решение:
Дана доска $5\times5$, в каждой из $25$ клеточек которой стоит либо $0$, либо $1$. Никакие $3$ единицы не могут стоять в подряд идущих клетках по горизонтали, по вертикали или по диагонали. Какое наибольшее число единиц может быть на доске?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см построен многоугольник $ABCDEFGH$ (см. рис.). Назовём прямоугольной ломаную, проходящую по линиям сетки и не проходящую два раза через одну и ту же точку. Постройте прямоугольную ломаную наибольшей длины с концами в точках $K$ и $L$, не выходящую за границу $ABCDEFGH$ (по самой границе ломаная может проходить). В ответе укажите длину ломаной в сантиметрах.
Ответ:
Решение:
Найдите 5 прямоугольников, из которых можно сложить квадрат размера $15\times15$, причём таких, что все 10 чисел, соответствующие ширине и высоте каждого прямоугольника, являются различными целыми числами.
Ответ:
Решение:
Дан квадрат $1\times1$. Разрежьте его на 5 прямоугольников так, чтобы все 10 чисел, соответствующие ширине и высоте каждого прямоугольника, были различными рациональными числами.
Ответ:
Решение:
В каждую клетку доски $26\times 25$ клеток поставили либо чёрную, либо белую шашку. Оказалось, что в любом «уголке» из 3 клеток стоит хотя бы одна чёрная шашка. Какое наименьшее количество чёрных шашек может стоять на доске?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку доски $24\times30$ клеток поставили либо чёрную, либо белую шашку. Оказалось, что в любом «уголке» из $3$ клеток стоит хотя бы одна чёрная шашка. Какое наибольшее количество белых шашек может стоять на доске?
Ответ:
Решение:
Прямоугольник $57\times34$ разбит прямыми, параллельными его сторонам, на единичные квадратики. На сколько частей в итоге разобьётся прямоугольник, если в нём провести ещё и две диагонали?
Ответ:
Решение: