Найдутся ли такие два идущих подряд натуральных числа, что если их «рассыпать» на цифры, то всех цифр от 0 до 9 окажется поровну?
Ответ:
Решение:
В одной из вершин шестиугольника лежит золотая монета, а в остальных ничего не лежит. Кощей Бессмертный чахнет над златом и каждое утро снимает с одной вершины произвольное количество монет, после чего тут же кладёт на соседнюю вершину в шесть раз больше монет. Если к исходу какого-то дня во всех вершинах будет поровну монет, Кощей станет Властелином Мира. Докажите, что хоть злата у него сколько угодно, но Властелином Мира ему не бывать.
Ответ:
Решение:
Целые числа $a$, $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{13}$ таковы, что \[ a=(1+x_1)(1+x_2)\ldots(1+x_{13})=(1-x_1)(1-x_2)\ldots(1-x_{13}). \] Докажите, что $ax_1x_2\ldots x_{13}=0$.
Ответ:
Решение:
Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать «за», «против» или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу «Блестит ли золото?» все гномы проголосовали «за», а по вопросу «Страшен ли Дракон?» Торин воздержался. Сколько могло быть гномов? (Опишите все возможности и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?
Ответ:
Решение:
Кузя разрезал выпуклый бумажный 67-угольник по прямой на два многоугольника, затем таким же образом разрезал один из двух получившихся многоугольников, затем один из трёх получившихся, и так далее. В итоге у него получилось восемь $n$-угольников. Найдите все возможные значения $n$.
Ответ:
Решение:
На доску выписали три натуральных числа: два десятизначных числа $a$ и $b$, а также их сумму $a+b$. Какое наибольшее количество нечетных цифр могло быть выписано на доске?
Ответ:
Решение:
Десятизначные натуральные числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a+b=c$. Какое наибольшее количество из 30 их цифр могут оказаться нечётными?
Ответ:
Решение:
На какое наибольшее количество групп можно разбить числа $1, 2, 3, \ldots, 100$ так, чтобы сумма чисел в каждой группе была простым числом? (Каждое число должно войти ровно в одну группу. Каждая группа должна состоять из одного или нескольких чисел.)
Ответ:
Решение:
Перед сладкоежкой лежат пять коробок с конфетами: в первой коробке 11 конфет, во второй — 22 конфеты, в третьей — 33 конфеты, в четвёртой — 44 конфеты, в пятой — 55 конфет. За один ход сладкоежка может взять из одной коробки четыре конфеты и разложить их по одной конфете в оставшиеся четыре коробки.
В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое наибольшее количество конфет он сможет забрать?
В любой момент сладкоежка может забрать конфеты из любой коробки и уйти. Какое наибольшее количество конфет он сможет забрать?
Ответ:
Решение:
Изначально на табло горит число 0. При нажатии на кнопку число на табло изменяется на 50 или 51. На кнопку нажали 2025 раз. Могло ли после этого на табло гореть число 25, если известно, что на табло не появлялись более чем двузначные числа, а также не появлялись отрицательные числа?
Ответ:
Решение:
Пусть $n\gt 2024$ — натуральное число. На доске написаны натуральные числа от 2024 до $n$. За одну операцию робот берёт два наибольших числа на доске и заменяет их на их разность, тем самым уменьшая количество чисел на доске. Через некоторое время на доске останется только одно число. Сколько существует натуральных $n\lt 10\,000$, для которых это число будет равно 0?
Ответ:
Решение:
В ряд стоят 20 ящиков, пронумерованные слева направо числами от 1 до 20. В ящиках с нечётными номерами лежат по 45 шариков, а с чётными номерами — по 46. За одну операцию разрешается выбрать не крайний справа ящик, в котором нечётное количество шариков, и переложить один шарик из него в соседний справа ящик. Если никакую операцию сделать невозможно, процесс заканчивается.
1. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
2. Через какое максимальное количество операций мог закончиться процесс?
1. Через какое минимальное количество операций мог закончиться процесс?
2. Через какое максимальное количество операций мог закончиться процесс?
Ответ:
Решение:
Каждый день в 8:00 Петя выписывает на доску букву «a», «b» или «c». Затем каждую минуту он делает одно из следующих действий:
- Приписывает сразу после буквы «a» букву «c»;
- Приписывает сразу перед буквой «b» букву «c»;
- Приписывает сразу после буквы «c» ещё одну букву «c»;
- Стирает букву «c» и вписывает на том же месте комбинацию «ba».
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, в которых расставлены числа, как на рисунке. За один ход можно выбрать одну из вершин сетки и увеличить числа во всех клетках с этой вершиной на 1. Лёша хочет сделать несколько ходов так, чтобы все числа оказались равны.
а) Какое число должно быть записано вместо знака вопроса, чтобы он смог этого добиться?
б) Какое наименьшее количество ходов ему понадобится?
а) Какое число должно быть записано вместо знака вопроса, чтобы он смог этого добиться?
б) Какое наименьшее количество ходов ему понадобится?
Ответ:
Решение:
Назовем натуральное число $k$-хорошим, если оно представимо в виде суммы $k$ последовательных натуральных чисел. Учитель попросил Васю придумать число $n$, и обещал поставить по пятерке за каждое $k$, большее 1 и меньшее 7, при котором $n$ окажется $k$-хорошим. Какое наибольшее число пятерок мог получить Вася?
Ответ:
Решение:
На плоскости отметили все вершины правильного $n$-угольника, а также его центр. Затем нарисовали контур этого $n$-угольника, и центр соединили со всеми вершинами; в итоге $n$-угольник разбился на $n$ треугольников. Вася записал в каждую отмеченную точку по числу (среди чисел могут быть равные). В каждый треугольник разбиения он записал в произвольном порядке три числа, стоящих в его вершинах; после этого он стёр числа в отмеченных точках. При каких $n$ по тройкам чисел, записанным в треугольниках, Петя всегда сможет восстановить число в каждой отмеченной точке?
Ответ:
Решение:
На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр «01» заменять на набор цифр «1000». Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?
Ответ:
Решение:
У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера $a\times b$ дать либо ковёр размера $\frac{1}{a}\times\frac{1}{b}$, либо два ковра размеров $c\times b$ и $\frac{a}{c}\times b$ (при каждом таком обмене число $c$ клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая — короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера $a\times b$ считать ковром размера $b\times a$.)
Ответ:
Решение:
В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, …, 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири — целое число килограммов?
Ответ:
Решение: