Лёня мечтает в будущем полететь на Марс и основать там свою страну. Пока он хочет придумать флаг этой страны. Он собирает различные варианты флага размером $8\times 8$ из плиток $1\times 1$ серого, бурого и малинового цветов, причём плитки каждого из цветов должны присутствовать.
1. Лёня решил, что плитки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Кроме того, плитки серого и бурого цвета в объединении тоже должны образовывать прямоугольник, а также плитки бурого и малинового цвета в объединении должны образовывать прямоугольник. Сколько вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
2. Лёне не понравился ни один вариант флага из пункта 1, и он решил отказаться от условий про объединения цветов. Осталось лишь требование, что клетки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Сколько новых вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
1. Лёня решил, что плитки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Кроме того, плитки серого и бурого цвета в объединении тоже должны образовывать прямоугольник, а также плитки бурого и малинового цвета в объединении должны образовывать прямоугольник. Сколько вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
2. Лёне не понравился ни один вариант флага из пункта 1, и он решил отказаться от условий про объединения цветов. Осталось лишь требование, что клетки каждого цвета должны образовывать прямоугольник. Сколько новых вариантов флага придётся рассмотреть Лёне?
Ответ:
Решение:
Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается число 4 или 5, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 2. Сколько последовательностей ему придётся выписать?
Ответ:
Решение:
Петя хочет выписать все возможные последовательности из 100 натуральных чисел, в каждой из которых хотя бы раз встречается тройка, а любые два соседних члена различаются не больше, чем на 1. Сколько последовательностей ему придётся выписать?
Ответ:
Решение:
На доске нарисован выпуклый $n$-угольник ($n\geqslant 4$). Каждую его вершину надо окрасить либо в чёрный, либо в белый цвет. Назовём диагональ разноцветной, если её концы окрашены в разные цвета. Раскраску вершин назовём хорошей, если $n$-угольник можно разбить на треугольники разноцветными диагоналями, не имеющими общих точек (кроме вершин). Найдите количество хороших раскрасок.
Ответ:
Решение:
Разложите золотой ключик, перстень, алмаз, жемчужину и изумруд по трём шкатулкам так, чтобы ни одна надпись не была верна.
| Шкатулка 1 | Шкатулка 2 | Шкатулка 3 |
| Здесь нет алмаза | Эта шкатулка пуста | Здесь меньше трёх предметов |
| Здесь лежит ключик |
Ответ:
Решение:
Три лисы — Алиса, Лариса и Инесса — разговаривали на полянке. Лариса: «Алиса не самая хитрая». Алиса: «Я хитрее Ларисы». Инесса: «Алиса хитрее меня». Известно, что самая хитрая лиса солгала, остальные сказали правду.
а) Может ли самой хитрой лисой быть Алиса? Почему?
б) Какая лиса самая хитрая? Дайте ответ и объясните, почему другие варианты не подходят.
а) Может ли самой хитрой лисой быть Алиса? Почему?
б) Какая лиса самая хитрая? Дайте ответ и объясните, почему другие варианты не подходят.
Ответ:
Решение:
В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между тремя осьминогами состоялся такой разговор.
— Зелёный осьминог: У нас вместе 21 нога.
— Синий осьминог (зелёному): Всё ты врёшь!
— Красный осьминог: Да оба вы врёте!
1) Мог ли зелёный осьминог сказать правду? Почему?
2) Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
— Зелёный осьминог: У нас вместе 21 нога.
— Синий осьминог (зелёному): Всё ты врёшь!
— Красный осьминог: Да оба вы врёте!
1) Мог ли зелёный осьминог сказать правду? Почему?
2) Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
Ответ:
Решение:
В подводном царстве живут осьминоги с семью и восемью ногами. Те, у кого 7 ног, всегда врут, а те, у кого 8 ног, всегда говорят правду. Однажды между тремя осьминогами состоялся такой разговор.
— Зелёный осьминог: У нас вместе 24 ноги.
— Синий осьминог: Ты прав!
— Красный осьминог: Глупости, Зелёный говорит ерунду!
Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
— Зелёный осьминог: У нас вместе 24 ноги.
— Синий осьминог: Ты прав!
— Красный осьминог: Глупости, Зелёный говорит ерунду!
Сколько ног было у каждого осьминога? (Ответ обоснуйте.)
Ответ:
Решение:
В мешке лежат 15 шариков (см. рисунок). Раскрасьте каждый шарик в один из трёх цветов: синий, зелёный или красный — так, чтобы два утверждения были верны, а одно неверно:
- синих шариков на один больше, чем красных;
- красных и зелёных шариков поровну;
- синих шариков на 5 больше, чем зелёных.
Ответ:
Решение:
С понедельника по среду гном ест на завтрак манную кашу, с четверга по субботу — рисовую кашу, а в воскресенье делает себе яичницу. По чётным числам месяца гном говорит правду, а по нечётным — неправду. В какие из первых десяти дней августа 2016 года он мог сказать: «Завтра я буду есть на завтрак манную кашу»? Обоснуйте ваш ответ.
{
}
{
| Понедельник | Вторник | Среда | Четверг | Пятница | Суббота | Воскресенье |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 8 | 9 | 10 |
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды 6 жителей острова собрались вместе и каждый сказал: «Среди остальных пятерых ровно четыре лжеца!». Сколько рыцарей могло среди них быть?
Ответ:
Решение:
Четверо ребят гуляли вдоль аллеи и решили посчитать количество елей, высаженных вдоль неё.
- Аня сказала: «Вдоль аллеи всего 15 елей».
- Боря сказал: «Количество елей делится на 11».
- Вера сказала: «Елей точно меньше 25».
- Гена сказал: «А я уверен, что их количество делится на 22».
Ответ:
Решение:
После чемпионата мира по хоккею три журналиста написали статью о сборной Германии — каждый для своей газеты.
- Первый написал: «Сборная Германии за весь чемпионат забила больше 10, но меньше 17 шайб».
- Второй: «Сборная Германии забила больше 11, но меньше 18 шайб за весь чемпионат».
- Третий: «Сборная Германии забила нечётное количество шайб за весь чемпионат».
Ответ:
Решение:
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Однажды 65 жителей острова собрались на заседание. Все они по очереди сделали заявление: «Среди сделанных ранее заявлений истинных ровно на 20 меньше, чем ложных». Сколько рыцарей было на этом заседании?
Ответ:
Решение:
На уроке физкультуры в шеренгу встали 25 учеников 5«Б» класса. Каждый из ребят либо отличник, который всегда говорит правду, либо хулиган, который всегда врёт.
Отличник Влад встал на 13-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом ровно 6 хулиганов». Сколько всего хулиганов в шеренге?
Отличник Влад встал на 13-е место. Все, кроме Влада, заявили: «Между мной и Владом ровно 6 хулиганов». Сколько всего хулиганов в шеренге?
Ответ:
Решение:
У мальчиков Ильи, Максима, Вовы и Лёши есть конфеты: 1, 2 или 3 у каждого. Они заявили следующее:
- Илья: «У Лёши не 1 конфета».
- Максим: «Ровно у двоих из нас по 3 конфеты».
- Вова: «У меня конфет больше, чем у Лёши».
- Лёша: «Количества конфет у Максима и Вовы отличаются не более чем на 1».
Ответ:
Решение:
В 7 «А» учится 26 детей, которые на всех уроках сидят по двое за партой. Однажды в этом классе провели самостоятельную работу, за которую каждый получил четвёрку или пятёрку. Все ученики заявили следующее:
«Все сидящие не за одной партой со мной получили четвёрки.»
Оказалось, что правду сказали только те ученики, которые получили пятёрку. Сколько всего четвёрок было выставлено за эту самостоятельную работу?
«Все сидящие не за одной партой со мной получили четвёрки.»
Оказалось, что правду сказали только те ученики, которые получили пятёрку. Сколько всего четвёрок было выставлено за эту самостоятельную работу?
Ответ:
Решение:
Среди трех друзей один выше всех по росту, другой старше всех, а третий — самый хитрый. Самый высокий всегда говорит правду, самый старший всегда лжёт, а самый хитрый может иногда говорить правду, а иногда лгать.
- И Петя, и Вася сказали: «Я — самый хитрый!»,
- а Алеша добавил: «Петя выше самого старшего из нас».
Ответ:
Решение:
Разложите золотой ключик, перстень, алмаз и жемчужину по двум шкатулкам так, чтобы ни одна надпись не была верна.
Выберите, какие предметы лежат в каждой шкатулке.
| Шкатулка 1 | Шкатулка 2 |
| «Здесь алмаза нет.» | «Золотой ключик в соседней шкатулке.» |
| «Перстень здесь.» | «В этой шкатулке ровно два предмета.» |
Ответ:
Решение:
На острове рыцарей и лжецов, где рыцари всегда говорят правду, а лжецы — лгут, встретились четыре жителя — Антон, Иван, Пётр и Богдан.
- Антон сказал: «Иван — лжец!»
- Иван сказал: «Пётр — рыцарь!»
- Пётр сказал: «Я знаю точно, что в паре Богдан и Антон один человек рыцарь, а другой лжец.»
- Богдан сказал: «Антон — лжец!»
Ответ:
Решение: