На тетрадном листе нарисован квадрат $8\times8$ клеток (стороны квадрата идут вдоль границ клеток), а все узлы сетки внутри квадрата или на его границе покрашены в чёрный цвет. Найдите количество способов перекрасить два узла в белый цвет, если раскраски, получающиеся друг из друга поворотом, считаются одинаковыми.
Ответ:
Решение:
Есть некоторое количество одинаковых целлофановых пакетов, которые можно вкладывать друг в друга. Если внутри одного из пакетов оказались все остальные пакеты, назовём такую ситуацию «пакетом пакетов». Посчитайте, сколькими способами можно сложить «пакет пакетов» из 10 пакетов.
Пояснение. Обозначим скобочками пакет. Если у нас был один пакет, то способ сложить «пакет пакетов» всего один: (). Два пакета тоже можно сложить всего одним способом: (()). Три пакета можно сложить двумя разными способами: (()()) и ((())), и т. д. Порядок пакетов внутри не важен. Например, вариант ((())()) не отличается от (()(())).
Пояснение. Обозначим скобочками пакет. Если у нас был один пакет, то способ сложить «пакет пакетов» всего один: (). Два пакета тоже можно сложить всего одним способом: (()). Три пакета можно сложить двумя разными способами: (()()) и ((())), и т. д. Порядок пакетов внутри не важен. Например, вариант ((())()) не отличается от (()(())).
Ответ:
Решение:
Есть два ряда — верхний и нижний, каждый из 6 точек (см. рисунок). Проводят отрезки с концами в противоположных рядах так, чтобы из каждой точки выходил ровно один отрезок. Сколько существует способов провести отрезки, чтобы среди всех пар отрезков было ровно 7 пар пересекающихся отрезков?
Ответ:
Решение:
На плоскости есть три одинаковых прямоугольных треугольника со сторонами 3, 4, 5 (см. рис.). Они одинаково ориентированы, их можно двигать и вращать, но нельзя накладывать друг на друга (касаться сторонами можно) и нельзя класть обратной стороной вверх (то есть, как бы вы ни двигали треугольник, стороны 3 - 4 - 5 будут расположены по ходу часовой стрелки). Посчитайте, сколько различных «жёстких» фигур можно собрать, используя все эти треугольники. Фигура считается «жёсткой», если у каждого её треугольника есть с каким-нибудь другим треугольником общая вершина и общий граничный отрезок с концом в этой вершине (необязательно целая сторона).
Ответ:
Решение:
К Ивану на день рождения пришли $3n$ гостей. У Ивана есть $3n$ цилиндров с написанными сверху буквами А, Б и В, по $n$ штук каждого типа. Иван хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или больше) так, чтобы длина каждого хоровода делилась на 3, и при взгляде на любой хоровод сверху читалось бы по часовой стрелке АБВАБВ… АБВ. Докажите, что Иван может устроить бал ровно $(3n)!$ различными способами. (Цилиндры с одинаковыми буквами неразличимы; все гости различны.)
Ответ:
Решение:
Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты — до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну — из шести нот, $\ldots$, одну — из 30 нот. Если в какой-то момент последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии Кощей ни объявил запретными?
Ответ:
Решение:
На некоторой прямой произвольно отмечено $10$ точек, а на параллельной ей прямой — $12$ точек. Сколько существует треугольников и сколько четырёхугольников с вершинами в этих точках?
Ответ:
Решение:
Девочки мелом нарисовали на асфальте 7 прямых, параллельных бордюру. Мальчики пририсовали 5 параллельных между собой прямых, каждая из которых пересекает все прямые, нарисованные девочками. Сколько всего параллелограммов получилось при пересечении этих прямых?
Ответ:
Решение:
Найдите количество прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, таких, что точка $(14;22)$ содержится внутри (но не на границе) каждого из них, абсциссы вершин являются натуральными числами меньше $29$, а ординаты — натуральны и меньше, чем $31$.
Ответ:
Решение:
Прямоугольник, составленный из одинаковых квадратных клеток, назовём чётным, если он содержит чётное число клеток.
Из одинаковых квадратных клеток составлен прямоугольник длиной $9$ клеток и шириной $4$ клетки. Сколько в нём содержится чётных прямоугольников?
Из одинаковых квадратных клеток составлен прямоугольник длиной $9$ клеток и шириной $4$ клетки. Сколько в нём содержится чётных прямоугольников?
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый $15$-угольник, никакие три диагонали которого не имеют общих точек, отличных от вершин. Найдите число точек пересечения диагоналей (не считая вершин).
Ответ:
Решение:
На плоскости проведены $3$ семейства по $7$ прямых трёх разных направлений, причём прямые различных направлений пересекаются. Какое наибольшее количество ограниченных областей вырезают они из плоскости?
Ответ:
Решение:
На сторонах треугольника $ABC$ отметили точки: 10 — на стороне $AB$, 11 — на стороне $BC$, 12 — на стороне $AC$. При этом ни одна из вершин треугольника не отмечена. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?
Ответ:
Решение:
В вершинах правильного $50$-угольника разместили $49$ белых и $1$ чёрную фишки. Сколькими способами можно выбрать две белых и одну чёрную фишку так, чтобы они лежали в вершинах прямоугольного треугольника?
Ответ:
Решение:
Найти зависимость от $n$ числа целых неотрицательных решений уравнения \[ x_1+x_2+\ldots+x_n=m \] при $m=2$ и $m=3$. При каком $n$ число решений для $m=3$ будет в четыре раза большим, чем число решений для $m=2$?
Ответ:
Решение:
Привокзальные часы имеют три электронных циферблата, которые показывают текущее время в часах, минутах и секундах соответственно. Очередные сутки начинаются, когда на табло часов светятся три нуля, а заканчиваются в $23$ часа $59$ минут $59$ секунд. Сколько раз в течение суток сумма числа часов и минут на них равняется числу секунд?
Ответ:
Решение:
Пусть $F$ — множество точек на плоскости, координаты которых являются натуральными числами, не превосходящими 10. Найдите количество прямоугольных треугольников, вершины которых принадлежат $F$, а каждый из катетов параллелен одной из координатных осей.
Ответ:
Решение:
В кошельке у купца Ганса лежат 20 серебряных монет по 2 кроны, 15 серебряных монет по 3 кроны и 3 золотых дуката (1 дукат равен 5 крон). Сколькими способами Ганс может уплатить сумму в 10 дукатов? Монеты одного достоинства неразличимы.
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисовали прямоугольный треугольник с катетами, равными 7 клеткам (катеты идут по линиям сетки). Потом обвели все линии сетки, находящиеся внутри треугольника. Какое наибольшее количество треугольников можно найти на этом рисунке?
Ответ:
Решение:
На клетчатой доске размера $22\times 25$ (длина стороны клетки равна $1$) требуется отметить тройку клеток так, чтобы центры этих клеток образовывали прямоугольный треугольник с катетами длины $7$ и $4$ (катеты параллельны краям доски). Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение: