Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите $q$.
Ответ:
Решение:
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите коэффициент $q$.
Ответ:
Решение:
Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x^2$, его наименьшее значение увеличилось на 1, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на 3. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $2x^2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$.
Ответ:
Решение:
Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $3x^2$, его наименьшее значение увеличилось на $9$, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на $9$. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $x^2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$, $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+2f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+2g(x)$ равно 5.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=11g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=Af(x)$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+5f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+5g(x)$ равно $-17$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=4g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=Af(x)$.
Ответ:
Решение:
Две параболы $y=x^2+ax+b$ и $y=-3x^2+cx+d$ касаются в точке, лежащей на оси $Ox$. Через точку $D$ — вторую точку пересечения первой параболы с осью $Ox$ — проведена вертикальная прямая, пересекающая вторую параболу в точке $A$, а общую касательную к параболам — в точке $B$. Найдите отношение $DA:DB$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+g(x)$ равно $-6$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=20g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=\frac{f(x)}{A}$.
Ответ:
Решение:
Дана линейная функция $f(x)$. Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2-1$ и $y=f(x)$ равно $\sqrt{30}$, а расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2$ и $y=f(x)+3$ равно $\sqrt{46}$. Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $y=x^2-1$ и $y=f(x)+1$.
Ответ:
Решение:
Дана линейная функция $f(x)$. Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2+1$ и $y=f(x)$ равно $3\sqrt2$, а расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2$ и $y=f(x)-2$ равно $\sqrt{10}$. Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $y=x^2$ и $y=f(x)$.
Ответ:
Решение:
Дана линейная функция $f(x)$. Известно, что расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2$ и $y=f(x)$ равно $\sqrt{10}$, а расстояние между точками пересечения графиков $y=x^2-1$ и $y=f(x)+1$ равно $\sqrt{42}$. Найдите расстояние между точками пересечения графиков функций $y=x^2+1$ и $y=f(x)+2$.
Ответ:
Решение:
Бассейн имеет форму прямоугольного параллелепипеда, наполнен водой и его глубина равна $h$. В процессе слива воды из бассейна его глубина изменялась по закону \[ h(t)=at^2+bt+c \] при некоторых константах $a$, $b$ и $c$. Начало слива соответствует моменту $t=0$, его завершение — моменту времени $t=T$ при этом $h(T)=0$. Известно, что $h'(T)=0$ и через час после начала слива объем воды в бассейне уменьшился на $36\%$. Найти $T$ — время, за которое вода в бассейне полностью сливается.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=x^2+10x+20$. Решите уравнение \[ f\bigl(f\bigl(f\bigl(f(f(x))\bigr)\bigr)\bigr)=0. \]
Ответ:
Решение:
Парабола проходит через точки с координатами $(2019;2020)$, $(2020;0)$ и $(2021;2020)$. Найдите квадратный трехчлен $P(x)=ax^2+bx+c$, графиком которого она является. В ответе укажите ординату точки пересечения параболы с осью ординат.
Ответ:
Решение:
Когда из бассейна сливают воду, уровень $h$ воды в нём меняется в зависимости от времени $t$ по закону $h(t)=at^2+bt+c$, а в момент $t_0$ окончания слива выполнены равенства $h(t_0)=h'(t_0)=0$. За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?
Ответ:
Решение: