Положительные числа $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ и $y$ удовлетворяют равенствам: \[ x_1+x_2+x_3+x_4+x_5-517-256y+96y^2=0 \] и \[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}+\frac{1}{x_5}+763-16y^3+y^4=0. \] Какое наибольшее значение может принимать $y$?
Ответ:
Решение:
Найдите все такие наборы чисел $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$, что $x_1=x_{n+1}$ и при всех $k=1,\ldots,n$ выполнено равенство \[ 2\log_2 x_k\cdot\log_2 x_{k+1}-\log_2^2 x_k=9. \]
Ответ:
Решение:
Решить систему неравенств \[\begin{cases}x^2+9y^2-18y\leqslant 0,\\ 2x+3-2xy\leqslant 0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все пары действительных чисел $(x;y)$, для которых справедливо равенство \[\log_{2\sqrt{y-x}}\left(2^{\sqrt{y-x}}-\sqrt{x\sqrt{y}-1}\right)=3^{\sqrt{x+y-2\sqrt{y}}}.\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases} \dfrac{xy}{4}+\dfrac{xz}{9}-\dfrac{yz}{25}=1+2\ln\dfrac{5x}{6},\\ \dfrac{xy}{4}+\dfrac{yz}{25}-\dfrac{xz}{9}=1+2\ln\dfrac{3y}{10},\\ \dfrac{yz}{25}+\dfrac{xz}{9}-\dfrac{xy}{4}=1+2\ln\dfrac{2z}{15}.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найти все пары вещественных чисел $(x,y)$, удовлетворяющие неравенству \[\log_{3^x+2^{-x}}\left(3-\cos4x+\sin\dfrac{3y}{2}\right)\leqslant\log_{\left(\left|\cos\frac y3\right|+\left|\sin\frac y3\right|\right)}\left(|\sin3x\cos2y|\right).\]
Ответ:
Решение:
Решить систему уравнений \[\begin{cases} x+y^4-2y^2=\ln x,\\ 2\operatorname{arctg}x+\arcsin y=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
При каких значениях $n=1,2,\ldots,9$ уравнение \[ \left(\log_2^2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+\log_2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+0{,}5\right)\cdot\log_2\left(9\cdot3^{4x^2-6x}-2\cdot3^{2x^2-3x+2}+17\right)=3\log_2\sin\left(\pi x+\frac{7\pi n}{6}\right)+1{,}5 \] имеет решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары $(x,y)$ действительных чисел, удовлетворяющие условиям: $x^3+y^3=1$ и $x^4+y^4=1$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сергей утверждает, что нашел различные вещественные числа $x, y, z$ такие, что \[ \frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{y^2+y+1}+\frac{1}{z^2+z+1}=4. \] Могут ли слова Сергея быть правдой?
Ответ:
Решение:
Тройку положительных чисел $(a,b,c)$ назовём загадочной, если \[ \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2c^2}+2ab}+\sqrt{b^2+\frac{1}{b^2a^2}+2bc}+\sqrt{c^2+\frac{1}{c^2b^2}+2ca}=2(a+b+c). \] Докажите, что если тройка $(a,b,c)$ — загадочная, то тройка $(c,b,a)$ — тоже загадочная.
Ответ:
Решение:
По кругу расставлено 99 положительных чисел. Оказалось, что для любых четырех стоящих подряд чисел сумма двух первых из них по часовой стрелке равна произведению двух последних из них по часовой стрелке. Чему может быть равна сумма всех 99 расставленных чисел?
Ответ:
Решение: