Ответ:
Решение:
Как устроить полустанок? (старинная задача) В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, в 20 км от него, лежит селение В. Где надо устроить полустанок С, чтобы суммарно проезд от А до В по железной дороге АС и по шоссе СВ отнимал возможно меньше времени? Скорость движения по железной дороге 0,8, а по шоссе 0,2 км в минуту.
Ответ:
Решение:
На произвольной параболе даны точки $A$ и $B$. Точка $C$ выбрана на дуге параболы между $A$ и $B$, так, что треугольник $ABC$ имеет максимальную площадь. Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно оси симметрии параболы, пересекает отрезок $AB$ в точке $M$. Найдите отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее расстояние может быть между двумя точками, одна из которых лежит на графике функции $y=x^2$, другая — на кривой, заданной уравнением \[ 4x^2+4y^2-48x-24y+163=0. \] В ответ запишите квадрат найденного расстояния.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки $M$, наименее удаленной от начала координат и лежащей на параболе $y=x^2-4x+3{,}5$.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение функции \[ f(x)=\sin(x+\sin x)+\sin(x-\sin x)+\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-2\Bigr)\sin\sin x. \]
Ответ:
Решение:
Про функции $p(x)$ и $q(x)$ известно, что $p(0)=q(0)\gt 0$ и $p'(x)\sqrt{q'(x)}=\sqrt{2}$ для любого $x\in[0;1]$. Докажите, что если $x\in[0;1]$, то $p(x)+2q(x)\gt 3x$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$ проведены две перпендикулярные друг другу касательные к параболе \[ y=x^2+3x+2. \] Найдите минимально возможную ординату точки $M$.
Ответ:
Решение:
К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a\operatorname{tg} x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\ne 0$.
Ответ:
Решение:
Известно, что графики функций $f(x)=x^p$ и $g(x)=\ln x$ касаются (имеют общую точку, в которой касательные к обоим графикам совпадают). Найдите константу $p$ и точку касания.
Ответ:
Решение:
Функция $y=f(x)$ такова, что $f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\frac{1}{x-1}$. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции \[ g(x)=\underbrace{f(f(\ldots f(x)))}_{10} \] в точке $x=0$.
Ответ:
Решение:
На оси $Oy$ найдите точку $M$, через которую проходят две касательные к графику функции $y=0{,}5\left(x-(1/2)\right)^2$, угол между которыми равен $45^\circ$.
Ответ:
Решение:
На прямой $x=1$ найдите точку $M$, через которую проходят две касательные к графику функции $y=x^2/4$, угол между которыми равен $45^\circ$.
Ответ:
Решение:
Графику функции $y=-x^3+ax^2+bx+c$ принадлежат точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x=2$. Касательные к этому графику в точках $A$ и $B$ параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $(0;2)$, а другая — через точку $(0;6)$. Найти значения $a$, $b$ и $c$.
Ответ:
Решение:
График функции\[y(x)=-x^4+10x^3-33x^2+\frac{124}{3}x-13\]имеет две точки максимума и одну точку минимума. К графику провели касательную с двумя точками касания. Найдите длину отрезка касательной между точками касания.
Ответ:
Решение:
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции $y=\sin x$, $x\in(0;\alpha)$. Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если:
а) $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$;
б) $\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$?
а) $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$;
б) $\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$?
Ответ:
Решение:
Парабола $\Pi_2$ симметрична параболе $\Pi_1$ $y=ax^2$, $a\lt 0$ относительно точки $N(b;ab^2)$, где $b\gt 0$. Некоторая прямая пересекает каждую из парабол ровно в одной точке: $\Pi_1$ — в точке $B_1$, $\Pi_2$ — в точке $B_2$ так, что угол $B_1B_2N$ — прямой. Касательная к параболе $\Pi_1$, проведенная в точке $B_1$, пересекает отрезок $B_2N$ в точке $L$. Определить, в каком отношении точка $L$ делит отрезок $B_2N$. Найти значения параметров $a$ и $b$, при которых длина отрезка $B_1L$ минимальна, если площадь треугольника $B_1B_2N$ равна $\frac13$.
Ответ:
Решение:
График функции $y=x^3+ax^2+bx+c$, $c\lt 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a$, $b$, $c$, если площадь треугольника $AMN$ равна $1$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем значении параметра $a$ функция $2x^3+18x^2+ax+5$ будет возрастать на всей числовой оси?
Ответ:
Решение:
Скорость движения тела на прямой изменяется по закону $v(t)=A|\sin(\alpha t)|$, $t\geqslant0$ с некоторыми константами $A\gt 0$ и $0\lt \alpha\lt 0{,}2$. Известно, что за каждые $20$ сек. точка проходит путь $2$ м. Какой путь пройдет тело спустя $65$ сек. после начала движения?
Ответ:
Решение: