Найти наименьшее значение выражения \[ 2x^2-14x+42+2\sqrt{x^2-10x+34}\cdot\sqrt{x^2-4x+8}. \] В ответ запишите квадрат этого значения.
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+20bx+c=0,\quad bx^2+20cx+a=0,\quad cx^2+10ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно 11? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $p$, для которого при всех $0\leqslant x\leqslant 1$, $0\leqslant y\leqslant 2$, $0\leqslant z\leqslant 4$ выполняется неравенство $xyz+p\geqslant 11x+4y+2z$.
Ответ:
Решение:
Известно, что для всех пар положительных чисел $(x;y)$, для которых выполняются равенство $x+y=7$ и неравенство $x^2+y^2\gt 28$, выполняется и неравенство $x^4+y^4\gt m$. Какое наибольшее значение может принимать $m$?
Ответ:
Решение:
Известно, что при некоторых $x$ и $y$ ровно два из четырёх чисел \[x-2y-2{,}5;\quad 2x-y-3;\quad x^2-2x+y^2+y+3;\quad x^2-x+y^2+2y+2{,}5\] равны между собой. Найдите наибольшее возможное значение выражения $x+y$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $a,b,c$ — длины сторон, а $\alpha,\beta,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы. Какое наибольшее значение может принимать выражение \[ a\left(b^2+c^2\right)\cos(\alpha)+b\left(c^2+a^2\right)\cos(\beta)+c\left(a^2+b^2\right)\cos(\gamma), \] если известно, что $abc=2$?
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $|x|+|y|+|z|$ для троек $(x;y;z)$, удовлетворяющих системе \[ \begin{cases} \sin x\cdot\sin(x+y)\cdot\sin(x+y+z)=0,\\ x^2+y^2+z^2=\dfrac{\pi^2}{3}. \end{cases} \] Найти тройки $(x;y;z)$, для которых наибольшее значение достигается.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее значение выражения $\sin x+\sin y+\sin z$, если $x$, $y$ и $z$ — неотрицательные числа, для которых $x+y+z=\dfrac{3\pi}{4}$.
Ответ:
Решение:
При каком натуральном $n$ дробь \[ a_n=\dfrac{1}{n+\dfrac{2019}{n+\frac1n}} \] принимает наибольшее возможное значение?
Ответ:
Решение:
Найти все числа $C$, для которых неравенство \[ |\alpha\sin x+\beta\cos2x|\leqslant C \] выполняется при всех $x$ и любых $(\alpha;\beta)$ таких, что $\alpha^2+\beta^2\leqslant4$.
Ответ:
Решение:
Четыре числа $(x,\ y,\ z,\ t)$ удовлетворяют трем условиям: \[ x^2+y^2=1,\quad z^2+t^2=4,\quad xz+yt=-2. \] Найти $t$, если известно, что $y+z$ принимает наибольшее возможное значение.
Ответ:
Решение:
Имеется $153$ положительных числа, сумма которых $918$. Из них отобрали $127$ самых больших и нашли число $s$ — их сумму. Найти наименьшее возможное значение числа $s$.
Ответ:
Решение:
Числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам \[ x\leqslant 1,\quad y\leqslant 1,\quad x+y\geqslant 0{,}5. \] Найти наибольшее значение выражения $xy-x-y$. При каких $x$ и $y$ оно достигается?
Ответ:
Решение:
Найдите область значений функции \[ f(x)=\log_2 x\cdot\log_2\frac{64}{x}\cdot\sqrt{\log_3(27-3x)\cdot\log_3\frac{9}{27-3x}}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение $x+y$, если числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенству \[ \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} y\geqslant1. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение выражения\[\frac{1}{1-x^2}+\frac{4}{4-y^2}\]при условиях $|x|\lt 1$, $|y|\lt 2$ и $xy=1$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите минимальное значение выражения\[\frac{2bc-2a^2+2a}{2a}+\frac{2ca-2b^2+2b}{2b}+\frac{2ab-2c^2+2c}{2c},\qquad a,b,c\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение произведения \[ \operatorname{tg}x\operatorname{tg}y\operatorname{tg}z, \] где \[ 0\lt x,y,z\lt \frac{\pi}{2},\quad x+y+z=\frac{\pi}{2}. \]
Ответ:
Решение: