В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ равны, $K$ — точка пересечения диагоналей. Описанная окружность треугольника $ABD$ повторно пересекает сторону $BC$ в точке $Y$, а описанная окружность треугольника $BCD$ повторно пересекает сторону $AB$ в точке $X$. Докажите, что $\angle AKX=\angle CKY$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=8$, $BK=24$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и середину $D$ стороны $AB$ проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$.
Ответ:
Решение:
Дан вписанный четырехугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $E$, а лучи $DA$ и $CB$ — в точке $F$. Луч $BA$ пересекает описанную вокруг треугольника $DEF$ окружность в точке $L$, а луч $BC$ пересекает ту же окружность в точке $K$. Длина отрезка $LK$ равна 5, $\angle EBC=15^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $EFK$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $C$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) и пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$, соответственно. $MK$, хорда этой окружности, равная по длине $2\sqrt5$, содержит точку $H$, лежащую на $AC$ и являющуюся основанием высоты треугольника $ABC$. Прямая, проходящая через точку $C$ и перпендикулярная $BC$, пересекает прямую $MN$ в точке $L$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $MKL$, если $\cos\angle ABK=\frac23$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$ так, что $AK=9\sqrt2/2$, $BK=9$, $KC=3$. Около треугольника $ABK$ описана окружность. Через точку $C$ и точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена прямая, которая пересекает окружность в точке $P$, причем $CP\gt CD$. Найдите $DP$, если $\angle APB=\angle BAC$, $CD$ — биссектриса треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Пусть $I$ — центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника $ABC$. Через $A_1$ обозначим середину дуги $BC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точки $A$, а через $A_2$ — середину дуги $BAC$. Перпендикуляр, опущенный из точки $A_1$ на прямую $A_2I$, пересекает прямую $BC$ в точке $A'$. Аналогично определяются точки $B'$ и $C'$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
а) Докажите, что точки $A'$, $B'$ и $C'$ лежат на одной прямой.
б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой $OI$, где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Биссектриса угла $ABC$ пересекает описанную окружность $\omega$ треугольника $ABC$ в точках $B$ и $L$. Точка $M$ — середина отрезка $AC$. На дуге $ABC$ окружности $\omega$ выбрана точка $E$ так, что $EM\parallel BL$. Прямые $AB$ и $BC$ пересекают прямую $EL$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что $PE=EQ$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$. Окружность, касающаяся прямой $BC$ в точке $B$, пересекает высоту $CD$, проведённую к гипотенузе, в точке $F$, а катет $AC$ — в точке $E$. Известно, что $AB\parallel EF$, $AD:DB=3:1$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника $CEF$.
Ответ:
Решение:
Точка $F$ лежит на катете $KP$ прямоугольного треугольника $KPM$, периметр которого равен 45. Окружность радиуса 5 с центром в точке $F$ касается гипотенузы $PM$ и катета $KM$. Найдите все возможные значения $KM$. Если их несколько, запишите в ответе их сумму.
Ответ:
Решение:
Даны две концентрические окружности $\Omega$ и $\omega$ с центром в точке $O$, причём радиус $\Omega$ больше радиуса $\omega$. На луче с началом в точке $O$, пересекающем окружность $\Omega$ в точке $A$, отмечена точка $B$ такая, что $OB\gt OA$. На окружности $\omega$ выбраны точки $K$ и $M$ таким образом, что прямые $AM$ и $BK$ касаются этой окружности. Прямая $BL$ касается окружности $\Omega$ в точке $L$. Найдите наибольшую возможную длину $BL$, если $AM=20$, $BK=29$.
Ответ:
Решение:
Математической моделью шарикового подшипника является кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями $K_1$ и $K_2$ радиусов $r$ (внутреннее) и $R$ (внешнее), а также $n$ окружностей (шариков) радиуса $\rho$, расположенных внутри кольца, касающихся между собой и окружностей $K_1$ и $K_2$. Напишите формулу зависимости радиуса внешней окружности $R$ от $\rho$ и $n$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC=9$, $BC=12$ и $CD=6$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная к окружности, которая пересекает катет $CB$ в точке $D$. Найдите длину $DB$, если $AE=6$, а $BE=2$.
Ответ:
Решение:
Окружности радиусов $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$ ($r_1\lt r_2\lt r_3\lt r_4$) вписаны в угол. Каждая следующая окружность касается предыдущей окружности. Найдите \[ \frac{L_1+L_3}{\pi}, \] где $L_1+L_3$ — сумма длин первой и третьей окружностей, если длина радиуса четвёртой окружности равна $r_4=64$, а площадь круга, ограниченного второй окружностью с радиусом $r_2$, равна $16\pi$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром на стороне $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) касается сторон $AB$ и $BC$. Найти радиус окружности, если площадь треугольника $ABC$ равна $25$, а отношение высоты $BD$ к стороне $AC$ равно $\frac38$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ с центром $O$ на стороне $AC$ треугольника $ABC$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Известно, что $AD=2CE$, а угол $DOE$ равен $\operatorname{arcctg}\frac{1}{3}$. Найти углы треугольника $ABC$ и отношение его площади к площади круга, ограниченного окружностью $\omega$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ окружность радиуса $\frac{13}{3}$ с центром на отрезке $BC$ проходит через точку $B$ и касается отрезка $AC$ в точке $D$ такой, что угол $ADB$ равен $\operatorname{arctg}\frac{3}{2}$. Найдите высоту $BF$ треугольника $ABC$ и длину отрезка $CD$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если длины отрезков $AB$ и $CD$ равны.
Ответ:
Решение:
Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные $AC$ и $BD$. Их точки касания с меньшей окружностью — $A$ и $B$, с большей окружностью — $C$ и $D$. Найдите радиусы окружностей, если известно, что $AB=24/5$, $AC=12$.
Ответ:
Решение:
Дана прямоугольная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, причём $BC\lt AD$, $\angle BCD=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $CD$. Известно, что окружность радиуса $5$ проходит через точки $A$ и $B$ и касается стороны $CD$ в точке $M$, а $\cos\angle BMC=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$. Найдите длины отрезков $AB$ и $BC$, а также площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB=BC$) вписана окружность. Через точку $D$, лежащую на стороне $AB$, проведена касательная к окружности, пересекающая прямую $AC$ за точкой $C$ в точке $E$. Найдите длину боковой стороны треугольника $ABC$, если $AC=21$, $CE=35$ и $BD=AB/8$.
Ответ:
Решение: