Для каждого значения $a$ решите уравнение \[ 4-\sin^2 x+\cos 4x+\cos 2x+2\sin 3x\sin 7x-\cos^2 7x-\cos^2\pi a=0. \]
Ответ:
Решение:
Укажите все значения параметра $a$, $|a|\lt 1$, при которых множество решений неравенства\[\frac{|\cos t-a|-\sin t}{\left|\cos t-\frac{3}{4}\right|}\gt 0\]для $t\in(0;\pi)$ представимо в виде двух непересекающихся интервалов.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \sqrt[3]{6a\sin x+4a^2-6a}-\sqrt[3]{\cos2x+8\sin x+9}=\cos2x+(8-6a)\sin x-4a^2+6a+9 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\frac{\pi}{6};\frac{3\pi}{2}\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение \[ \left(\cos2x+14\cos x-14a\right)^7-\left(6a\cos x-4a^2-1\right)^7=(6a-14)\cos x+2\sin^2x-4a^2+14a-2 \] имеет два различных решения на отрезке $\left[-\frac{2\pi}{3};\pi\right]$. Укажите эти решения для каждого найденного $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $b$, при котором для любого значения параметра $a\in[-2;1]$ неравенство $a^2+b^2-\sin^22x-2(a+b)\cos2x-2\gt 0$ не выполняется хотя бы для одного значения $x$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} 7a-30\cos t+3\leqslant0,\\ 5\sin t+a+\dfrac12+\dfrac{|\cos t|}{2\cos t}+\dfrac{|5\cos t-4|}{5\cos t-4}=0 \end{cases} \] имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a$.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых система \[ \begin{cases} \left(a|\operatorname{tg}^3y|+a|\operatorname{ctg}^3x|-8\right)\left(\operatorname{ctg}^6x+\operatorname{tg}^6y-3a^2\right)=0,\\ \sqrt{(\operatorname{ctg}^6x)(\operatorname{tg}^6y)}=a \end{cases} \] имеет не более двенадцати различных решений при $x\in(0,\pi)$ и $y\in(-\pi/2,\pi/2)$.
Ответ:
Решение:
Укажите наибольшее значение параметра $p$, при котором уравнение имеет хотя бы одно решение \[ 2\cos\left(2\pi-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right)-3=p-2\sin\left(-\frac{\pi x^2}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\sqrt{9-x^2}\right). \]
Ответ:
Решение:
Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение \[\dfrac12(\cos x)^{\frac23}+(\sin x)^{\frac23}=a\] имеет единственное решение на отрезке $\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$.
Ответ:
Решение:
При каких $a$ уравнение \[ \arcsin(\cos x)=\cos\bigl(\arcsin(x-a)\bigr) \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при которых расстояние между любыми соседними корнями уравнения \[3\operatorname{tg}a\cdot\cos2x+3\sqrt2\cos3a\cdot\cos x+3\operatorname{tg}a-\operatorname{ctg}a=0\] меньше либо равно $\pi/2$.
Ответ:
Решение: