Точки $D$ и $E$ лежат на продолжениях сторон $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ за точки $B$ и $C$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AE$ и $DC$. Докажите, что $MN\gt AD/2$.
Ответ:
Решение:
Вдоль трассы стоят 60 дорожных знаков. На каждом из них написана сумма расстояний до оставшихся 59 знаков. Возможно ли такое, что на знаках написаны 60 различных натуральных чисел? (Расстояния между знаками не обязательно целые.)
Ответ:
Решение:
Вася разобрал каркас треугольной пирамиды в кабинете математики и хочет из её шести рёбер составить два треугольника так, чтобы каждое ребро являлось стороной ровно одного треугольника. Всегда ли Вася сможет это сделать?
Ответ:
Решение:
Докажите, что внутри любого неравностороннего треугольника $ABC$ можно отметить точку $D$ так, что сумма углов $ABD$, $BCD$ и $CAD$ будет меньше 60 градусов.
Ответ:
Решение:
Три биссектрисы неравнобедренного треугольника пересекаются в точке $I$. Докажите, что каждое из расстояний от точки $I$ до вершин треугольника меньше длины средней по величине стороны треугольника.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, в котором $AB=BC$. На стороне $BC$ нашлась такая точка $D$, что $CD=AC$. Точка $E$ на луче $DA$ такова, что $DE=AC$. Какой отрезок длиннее — $EC$ или $AC$?
Ответ:
Решение:
Ослик Иа-Иа составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и покрасил шесть палочек в два цвета: три самых коротких — в жёлтый цвет, а три остальных — в зелёный. Обязательно ли ослику удастся составить два треугольника, один — из трёх жёлтых палочек, а другой — из трёх зелёных?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $BC$ треугольника $ABC$, в котором $AB=17$, $AC=30$, $BC=19$. На стороне $AB$ как на диаметре построена окружность. На этой окружности выбирается произвольная точка $X$. Какое минимальное значение может принимать длина отрезка $MX$?
Ответ:
Решение:
Первоклассник составил из шести палочек два треугольника. Затем он разобрал треугольники обратно и разбил шесть палочек на две группы по три палочки: в первой группе оказались три самых длинных палочки, а во второй — три самых коротких. Обязательно ли можно составить треугольник из трех палочек первой группы? А из трех палочек второй группы?
Ответ:
Решение:
Петя и Вася плавают в бассейне размера 10 м $\times$ 17 м. Известно, что кратчайшее расстояние от Пети до края бассейна равно 2 метра, а кратчайшее расстояние от Васи до края — 3 метра. Какое максимальное расстояние может быть между Петей и Васей?
Ответ:
Решение:
На сторонах правильного семиугольника со стороной 2 отмечены две точки $A$ и $B$. Чему может быть равна длина отрезка $AB$?
a) 1;
b) 4;
c) 7;
d) 15.
a) 1;
b) 4;
c) 7;
d) 15.
Ответ:
Решение:
На прямой отмечены точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Получилось шесть отрезков: $AB$, $BC$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$. Кирилл измерил длины пяти из этих отрезков и выписал получившиеся числа в порядке возрастания: 1, 4, 5, 10, 14.
1. Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка.
2. Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.
1. Укажите любое возможное значение длины шестого отрезка.
2. Чему может равняться длина шестого отрезка? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Четыре города и пять дорог расположены так, как изображено на рисунке. Длины всех дорог равны целому числу километров. Длины четырёх дорог указаны на рисунке. Сколько километров составляет длина оставшейся?
Ответ:
Решение:
Прямые $y=ax+b$, $y=bx+c$, $y=cx+d$, $y=dx+a$ ограничивают квадрат. Чему может равняться площадь этого квадрата (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости проведена прямая $ax+by+c=0$, где $a$, $b$, $c$ — некоторые положительные числа. Известно, что эта прямая касается окружности $x^2+y^2=1$. Докажите, что если взять три отрезка с длинами $a$, $b$, $c$, то из них можно сложить прямоугольный треугольник.
Ответ:
Решение:
Для каждой пары различных натуральных чисел $a$ и $b$, не больших 20, Петя нарисовал на доске прямую $y=ax+b$ (то есть он нарисовал прямые \[\begin{gathered} y=x+2,\quad \ldots,\quad y=x+20,\\ y=2x+1,\quad y=2x+3,\quad \ldots,\quad y=2x+20,\\ y=3x+1,\quad y=3x+2,\quad y=3x+4,\quad \ldots,\quad y=3x+20,\\ \ldots,\\ y=20x+1,\quad \ldots,\quad y=20x+19). \end{gathered}\] Вася нарисовал на той же доске окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Сколько Петиных прямых пересекает Васину окружность?
Ответ:
Решение:
На плоскости отметили точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ так, что треугольники $ABC$ и $ADE$ равны: $AB=AD$, $AC=AE$, $BC=DE$. Затем с чертежа стёрли точку $E$ и подписи точек $B$, $C$ и $D$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.
Пусть точка $E$ имела координаты $(x;y)$.
1. Укажите любое возможное значение величины $xy$.
2. Укажите все возможные значения величины $xy$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр квадрата $ABCD$. Найдите какие-нибудь семь попарно неравных векторов с концами и началами в точках $A$, $B$, $C$, $D$, $O$, сумма которых равна нулевому вектору. Объясните свой ответ.
Ответ:
Решение:
На плоскости дан квадрат $ABCD$ со стороной 1 и точка $X$ (см. рисунок). Известно, что $XA=\sqrt{5}$, $XC=\sqrt{7}$. Чему равно $XB$?
Ответ:
Решение:
Постройте график уравнения \[ x^2-y^4=\sqrt{18x-x^2-81}\,, \] то есть изобразите на координатной плоскости все точки, координаты $(x,y)$ которых удовлетворяют этому уравнению.
Ответ:
Решение: