Определите, под каким углом видно из начала координат (т. е. внутри какого наименьшего угла с вершиной в точке $(0,0)$ помещается) множество, заданное на координатной плоскости неравенством \[ 14x^2+xy+y^2+14x+2y+4\lt 0. \]
Ответ:
Решение:
Координаты $(x;y)$ вершин треугольника $ABC$ являются решениями уравнения \[ |\cos(x-2y)|=-|\cos(x+y)|. \] Найти наименьшее возможное значение площади треугольника.
Ответ:
Решение:
Пусть $M$ — фигура на декартовой плоскости, состоящая из всех точек $(x;y)$ таких, что существует пара вещественных чисел $a$, $b$, при которых выполняется система неравенств \[ \begin{cases} (x-a)^2+(y-b)^2\leqslant 2,\\ a^2+b^2\leqslant\min(2a+2b;2). \end{cases} \] Найдите площадь фигуры $M$.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} x-y\geqslant|x+y|,\\ \dfrac{x^2-6x+y^2-8y}{3y-x+6}\geqslant0. \end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите ее площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |y|+|4+y|\leqslant4,\\ \dfrac{x-y^2-4y-3}{2y-x+3}\geqslant0. \end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите ее площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} y-x\geqslant|x+y|,\\ \dfrac{x^2+8x+y^2+6y}{2y-x-8}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости рассматривается фигура $M$, состоящая из всех точек, координаты $(x;y)$ которых удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} |x-1|+|5-x|\leqslant 4,\\ \dfrac{x^2-6x+2y+7}{y+x-4}\leqslant 0.\end{cases} \] Изобразите фигуру $M$ и найдите её площадь.
Ответ:
Решение:
а) Изобразите на координатной плоскости фигуру $\Phi$, координаты точек которой удовлетворяют системе неравенств \[ \begin{cases} x^2-y^2\leqslant 2(x-y),\\ x^2+y^2\leqslant 4(x+y-1).\end{cases} \]
б) Найдите площадь фигуры $\Phi$ и расстояние от точки $T(0,4)$ до ближайшей точки фигуры $\Phi$.
б) Найдите площадь фигуры $\Phi$ и расстояние от точки $T(0,4)$ до ближайшей точки фигуры $\Phi$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |5x|+|12y|+|60-5x-12y|=60, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, координаты которых удовлетворяют системе \[ \begin{cases} (|x|+x)^2+(|y|-y)^2\leqslant 16,\\ y-3x\leqslant 0, \end{cases} \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ \left|16+6x-x^2-y^2\right|+|6x|=16+12x-x^2-y^2, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Фигура, заданная на координатной плоскости двойным неравенством $0\leqslant x^2+y^2-4y\leqslant10$, разрезается линиями, задаваемыми уравнением $(x+2-y)\bigl(\sqrt{3}ax+y-2\bigr)=0$, на несколько частей. Найдите наибольшее число $a$, при котором площадь наименьшей части относится к площади наибольшей части как $5:7$.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} x^2-2y+3+y^2+2x\lt 10,\\ |y+2x|\geqslant|3x+2y|. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих полученному множеству. В ответе укажите сумму всех ординат найденных точек, умноженную на их количество.
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости в декартовой системе координат множество точек $(x;y)$, удовлетворяющих системе условий \[ \begin{cases} |x+2y|\lt |2x+3y|,\\ x^2-2x+4+y^2-2y\leqslant 6. \end{cases} \] Определите количество и найдите координаты всех точек с целочисленными координатами (обоими), принадлежащих множеству-ответу. В ответе укажите сумму всех абсцисс найденных точек, умноженную на их количество.
Ответ:
Решение:
Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите её площадь: $x^2+y^2+4(x-|y|)\leqslant 0$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством \[ \arcsin(2x)+\arccos(2x)\geqslant\frac{\pi}{4}\cdot\left(y^2-2\right). \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} \sqrt{1-x}+x\geqslant0,\\ \sqrt{x}-2\leqslant y\leqslant 2-x^2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Изобразите на плоскости $(x,y)$ множество точек, удовлетворяющих уравнению \[ |3x|+|4y|+|48-3x-4y|=48, \] и найдите площадь полученной фигуры.
Ответ:
Решение:
Вычислите площадь множества точек, координаты которых $(x;y)$ удовлетворяют неравенству \[ |x-1|+|x+1|+2|y|\leqslant 8. \]
Ответ:
Решение:
Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты — целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.
Ответ:
Решение: