Квадрат разрезали на пять прямоугольников равной площади, как изображено на рисунке. Ширина одного из прямоугольников равна 5. Найдите площадь квадрата.
Ответ:
Решение:
Квадрат на рисунке разбит на 11 меньших квадратов: белых и серых. Суммарная площадь серых квадратов равна 102.
Чему равна суммарная площадь белых квадратов?
Чему равна суммарная площадь белых квадратов?
Ответ:
Решение:
На рисунке изображены пять прямоугольников, площади четырёх из них указаны. Найдите площадь пятого прямоугольника.
Ответ:
Решение:
На рисунке изображены прямоугольники с одинаковыми периметрами: синие и красные, причём одноцветные прямоугольники равны друг другу. Два отмеченных отрезка равны 8 и 4 соответственно.
Найдите длину отрезка, обозначенного знаком «?».
Найдите длину отрезка, обозначенного знаком «?».
Ответ:
Решение:
В большой квадратный зал купили два ковра: прямоугольный и квадратный. Квадратный ковёр положили в угол комнаты, а прямоугольный попробовали положить несколькими способами, как показано на рисунке. Площадь комнаты, накрытая коврами в два слоя, в первых трёх случаях составляла 9 м$^2$, 15 м$^2$ и 36 м$^2$ соответственно.
Чему равна площадь комнаты, накрытая коврами в два слоя, в четвёртом случае? Ответ выразите в квадратных метрах.
Чему равна площадь комнаты, накрытая коврами в два слоя, в четвёртом случае? Ответ выразите в квадратных метрах.
Ответ:
Решение:
У прямоугольного листа бумаги отрезали 4 угла и окунули их в жёлтую краску — получилось 4 жёлтых с двух сторон треугольника. Из этих треугольников хотят составить четырёхугольник (уголки можно прикладывать друг к другу, переворачивать, но нельзя накладывать один на другой).
Для каждого из следующих четырёхугольников ответьте на вопрос — можно его сложить из этих уголков или нет.
Для каждого из следующих четырёхугольников ответьте на вопрос — можно его сложить из этих уголков или нет.
Ответ:
Решение:
Рамка для двух прямоугольных фотографий состоит из 13 одинаковых прямоугольников — см. рисунок. Периметр маленькой фотографии равен 72 см. Определите, чему равен периметр большой фотографии.
Ответ:
Решение:
Петя на клетчатой плоскости нарисовал по клеткам два прямоугольника. У одного из них стороны равны 3 и 10, а у другого стороны равны 5 и 6. Оказалось, что площадь их пересечения равна 12. Чему может быть равен периметр их объединения? Укажите все возможные варианты ответа.
Ответ:
Решение:
Учительница нарисовала на доске прямоугольник $ABCD$. Ученик Петя разделил этот прямоугольник на два прямоугольника прямой, параллельной стороне $AB$. Оказалось, что площади этих частей относятся как $1:2$, а периметры как $3:5$ (в том же порядке). Ученик Вася разделил этот прямоугольник на две части прямой, параллельной стороне $BC$. Площади новых частей тоже относятся как $1:2$. Как относятся их периметры?
Ответ:
Решение:
Игорь нарисовал на клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см архипелаг, в котором каждый остров имеет форму многоугольника, составленного из клеток, и разные острова не имеют общих точек. Может ли отношение суммарной длины береговой линии всех островов к их суммарной площади равняться:
1. 5;
2. 3,99?
1. 5;
2. 3,99?
Ответ:
Решение:
На рисунке ниже
- три синие фигуры — квадраты;
- оранжевая фигура — квадрат со стороной 18;
- точка $A$ — центр зелёной окружности;
- точка $B$ — центр красной окружности.
Ответ:
Решение:
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) равен основанию $AC$. На основании $AC$ построен квадрат $AKLC$ так, что отрезок $KL$ пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник $BKL$ равносторонний.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $MKN$ проведена биссектриса $KL$. Точка $X$ на стороне $MK$ такова, что $KX=KN$. Докажите, что прямые $KO$ и $XL$ перпендикулярны ($O$ — центр описанной окружности треугольника $MKN$).
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$. Вписанные окружности треугольников $ABD$ и $ACD$ касаются $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно и касаются $BC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть прямые $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите площадь треугольника $XYZ$, если известно, что $BC=22$, $AD=12$, а периметр треугольника $ABC$ равен 56.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ — центр его вписанной окружности, а точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Оказалось, что $\angle PIQ+\angle BIC=180^\circ$. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB=20$ и $AC=14$.
Ответ:
Решение:
Два равных прямоугольника $ABCX$ и $DEFX$ расположены так, как на рисунке. Найдите расстояние от середины отрезка $AF$ до центра описанной окружности треугольника $XCD$, если известно, что $CD=5$.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательная к этой окружности в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Прямые $AI$ и $BI$ пересекают биссектрису угла $CDB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Пусть $M$ — середина отрезка $PQ$. Докажите, что прямая $MI$ проходит через середину дуги $ACB$ окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрисы угла $ABC$ и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую $AC$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Из точек $B_1$ и $B_2$ провели касательные к окружности, вписанной в треугольник $ABC$, отличные от прямой $AC$. Они касаются этой окружности в точках $K_1$ и $K_2$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $K_1$ и $K_2$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны $BC$ в точке $A'$. Точка $X$ выбирается на отрезке $A'A$ так, что отрезок $A'X$ не пересекает $\omega$. Касательные, проведённые из $X$ к $\omega$, пересекают отрезок $BC$ в точках $Y$ и $Z$. Докажите, что сумма $XY+XZ$ не зависит от выбора точки $X$.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$ и описан около окружности с центром $I$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно прямой $OI$, лежит внутри угла $ABI$. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённые в точках $B'$ и $I$, пересекаются на прямой $AC$.
Ответ:
Решение: