Внутри выпуклого четырехугольника пять прямых делят его на шесть четырехугольников, а две его противоположные стороны — на шесть одинаковых частей каждую. Найдите площадь четвертого из полученных четырехугольников, если сумма площадей первого, пятого и шестого равна 60.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$. На продолжениях сторон $AB$, $CB$ за точку $B$ взяты точки $K$, $L$ соответственно так, что $BK:AB=2:1$, $BL:CB=3:1$. На продолжении медианы $BM$ за точку $M$ взята точка $N$, причем $BN:BM=6:1$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если площадь треугольника $KLN$ равна $126\sqrt3$, а расстояние от точки $M$ до точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$ равно 1.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$ с углом $B$, равным $60^\circ$. На продолжениях сторон $AB$, $CB$ и медианы $BM$ за точку $B$ взяты точки $K$, $L$, $N$ соответственно так, что $BK:AB=3:1$, $BL:CB=5:1$, $BN:BM=4:1$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если площадь треугольника $KLN$ равна $6\sqrt3$, а расстояние от точки $M$ до точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности со стороной $AC$ равно $1$.
Ответ:
Решение:
Для улучшения жилищных условий горожан в некоторых городах реализуется программа реновации — замена не подлежащего сохранению жилищного фонда путем его сноса и капитального строительства на высвобождаемой территории. Как правило, разбор старых домов и расчистка площадки под новое строительство происходит на ограниченной территории. Поэтому нужна техника (вращающиеся экскаваторы), которая могла бы расчистить наибольшую площадь с наименьшим количеством перемещений.
На рисунке изображена схема рабочей зоны и схема перемещений экскаватора. Встав в начальную точку $E$, экскаватор первым делом очищает ближнюю к себе площадку (на ней в основном находится металлический лом). Эта площадка представляет из себя сектор окружности, ограниченный большой дугой $FG$ окружности с центром в точке $E$ и радиусом $2\sqrt2$ м, а также отрезками ее радиусов $EF$ и $EG$. Затем экскаватор перемещается в точку $O$ и очищает дальнюю от себя площадку (на ней в основном находится кирпичный лом). Эта площадка с внешней стороны ограничена большой дугой $CD$ окружности c центром в точке $O$ и радиусом 6 м, отрезками $CG$ и $FD$ (точки $F$ и $G$ находятся на соответствующих радиусах $OC$ и $OD$), а с внутренней стороны — большой дугой $FG$ первой окружности с центром в точке $E$.
Определите площадь под кирпичным ломом (без металлических остатков), если точка $O$ находится в 2 метрах от точки $E$ по направлению к центру металлического завала, угол $EOD$ равен $45^\circ$.
На рисунке изображена схема рабочей зоны и схема перемещений экскаватора. Встав в начальную точку $E$, экскаватор первым делом очищает ближнюю к себе площадку (на ней в основном находится металлический лом). Эта площадка представляет из себя сектор окружности, ограниченный большой дугой $FG$ окружности с центром в точке $E$ и радиусом $2\sqrt2$ м, а также отрезками ее радиусов $EF$ и $EG$. Затем экскаватор перемещается в точку $O$ и очищает дальнюю от себя площадку (на ней в основном находится кирпичный лом). Эта площадка с внешней стороны ограничена большой дугой $CD$ окружности c центром в точке $O$ и радиусом 6 м, отрезками $CG$ и $FD$ (точки $F$ и $G$ находятся на соответствующих радиусах $OC$ и $OD$), а с внутренней стороны — большой дугой $FG$ первой окружности с центром в точке $E$.
Определите площадь под кирпичным ломом (без металлических остатков), если точка $O$ находится в 2 метрах от точки $E$ по направлению к центру металлического завала, угол $EOD$ равен $45^\circ$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=4:5$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 48.
Ответ:
Решение:
Через середину $M$ диагонали $AC$ произвольного выпуклого четырехугольника $ABCD$ проведена прямая $EF$ параллельная $BD$, пересекающая стороны $AB$ и $AD$. Найти площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что площадь четырехугольника $BCDF$ равна 5.
Ответ:
Решение:
Лёшин дачный участок имеет форму девятиугольника, у которого есть три пары равных и параллельных сторон (см. рисунок). Лёша знает, что площадь треугольника с вершинами в серединах оставшихся сторон девятиугольника равна 12 соток. Помогите ему найти площадь всего дачного участка.
Ответ:
Решение:
На вертикальной плоскости, изображающей стену, нарисована горизонтальная прямая, изображающая пол. На полу стоит свежеокрашенный квадрат со стороной $1$. Его кантуют (поворачивают на $90^\circ$, опираясь на одну из вершин). И так — четыре раза, пока он не будет стоять на той же стороне, что и вначале. При этом квадрат всё время касался стены, так что часть её оказалась окрашенной (или испачканной). Аналогичную процедуру проделали на другой стене, но квадрат был с диагональю длины $1$, а прокантовали его $7$ раз. На сколько меньшую площадь удалось окрасить (испачкать) во втором случае?
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $\angle ABM=15^\circ$, $\angle MBN=45^\circ$ и $\angle NBC=75^\circ$, а сумма и произведение площадей треугольников $ABM$ и $NBC$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB=3$, $AD=4$, $AC=6$, а площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $ADC$ и в два раза больше площади треугольника $ABD$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ на высоте $BH$, равной основанию $AC$, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону $BC$ в точке $F$. Каково отношение площади треугольника $FCH$ к площади треугольника $ABC$? Какая часть площади треугольника $ABC$ находится внутри окружности?
Ответ:
Решение:
В равносторонний треугольник $ABC$ вписан равносторонний треугольник $DEF$ (см. рис.). Треугольники $AGD$ и $BFH$ — прямоугольные, катеты $GD$ и $FH$ параллельны прямой $AB$. Площадь треугольника $AGD$ равна $9$, а треугольника $BFH$ — $1$. Найдите площадь треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ со стороной 9 и квадрат $DEFG$ со стороной $\pi$ имеют общую вершину $D$, при этом точка $E$ лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма $AMNF$, если точка $C$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в отношении $1:\pi$.
Ответ:
Решение:
Угол $B$ при вершине равнобедренного треугольника $ABC$ равен $120^\circ$. Из вершины $B$ выпустили внутрь треугольника два луча под углом $60^\circ$ друг к другу, которые, отразившись от основания $AC$ в точках $P$ и $Q$, попали на боковые стороны в точки $M$ и $N$ (см. рисунок). Докажите, что площадь треугольника $PBQ$ равна сумме площадей треугольников $AMP$ и $CNQ$.
Ответ:
Решение:
На дуге полукруга с диаметром $MN$ и центром $O$ взята точка $K$. Построен треугольник $ABC$ такой, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите отношение площади сектора $MOK$ к площади полукруга, если известно, что $AC=BC=OM$ и $\angle ACB=72^\circ$.
Ответ:
Решение:
Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$, радиусы которых 1 и $\sqrt2$, соответственно. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно 2. Найти длину хорды $AC$ окружности $\omega_2$, середина которой лежит на окружности $\omega_1$. В ответ запишите квадрат длины хорды $AC$.
Ответ:
Решение:
На дуге полукруга с центром $O$ и диаметром $MN$ взята точка $K$. Построен равносторонний треугольник $ABC$ с длиной стороны, равной радиусу полукруга, так, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите $\angle MOK$.
Ответ:
Решение:
Две кольцевые трассы $\alpha$ и $\beta$ одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе $\alpha$ по часовой стрелке едет автомобиль $A$, по трассе $\beta$ против часовой стрелки едет автомобиль $B$. В момент старта автомобили $A$ и $B$ находятся на одной прямой с центром трассы $\alpha$, причём эта прямая касается трассы $\beta$. После старта автомобили начинают приближаться к точке касания трасс. Каждый автомобиль проезжает полный круг по своей трассе за один час (и никогда не переезжает на другую трассу). Сколько времени из этого часа расстояние между автомобилями будет не меньше диаметра каждой трассы?
Ответ:
Решение:
Газонокосильщик участвует в гонке по трассе указанной формы (состоит из двух дуг окружностей и касающихся их прямых, радиусы окружностей 4 и 1, расстояние между центрами окружностей равно 6). Саму косилку можно считать маленькой, точкой. Скошенную траву она отбрасывает на расстояние 1.5 в сторону, направо, перпендикулярно направлению своего движения. Косилка ездит по часовой стрелке, соответственно, скошенная трава окажется внутри трассы. После того, как газонокосильщик завершил круг, внутри трассы вырисовалась замкнутая дорожка из скошенной травы. Найдите её длину.
Ответ:
Решение:
Вася нарисовал на доске замкнутую кривую $ABCD$, состоящую из четырёх звеньев: $AB$ — дуга окружности, меньшая полуокружности, $BC$ — отрезок, $CD$ — дуга окружности, большая полуокружности, $DA$ — отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали. Какие тогда будут углы у дуг $AB$ и $DC$? Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.
Ответ:
Решение: