Боковая сторона $AB$ трапеции $ABCD$ равна $10$, а меньшее основание $BC$ равно $5$. Биссектриса угла $A$ перпендикулярна отрезку $CD$, пересекает его в точке $K$ и пересекает продолжение стороны $BC$ за точку $C$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $KF=4$.
Ответ:
Решение:
Боковая сторона $AB$ трапеции $ABCD$ равна $10$, а меньшее основание $BC$ равно $5$. Биссектриса угла $A$ перпендикулярна отрезку $CD$, пересекает его в точке $E$ и пересекает продолжение стороны $BC$ за точку $C$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $EF=4$.
Ответ:
Решение:
На приведённом чертеже $ABCD$ — прямоугольная трапеция, основания $BC$ и $AD$ которой равные $a$ и $b$ соответственно, а $O$ — центр окружности, касающейся стороны $CD$. Найдите расстояние между точками $X$ и $Y$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ с параллельными сторонами $AD$ и $BC$ проведена прямая $L$, параллельная $AD$ и пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что четырехугольники $AMND$ и $MBCN$ подобные, а сумма длин сторон $AD$ и $BC$ не больше $4$. Найти наибольшую возможную при этих условиях длину отрезка $MN$.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) с прямым углом при вершине $A$ описана около окружности. Ее диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $M$. Найти площадь треугольника $ABM$, если длина стороны $AB$ равна 2.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$, где $BC\parallel AD$, а диагонали пересекаются в точке $O$, на отрезке $BC$ выбрана точка $K$ так, что $BK:CK=2:1$, а на отрезке $AD$ выбрана точка $M$ так, что $AM:MD=1:2$. Найти площадь треугольника $COD$, если $AD=5$, $BC=2$, $KM=7/3$, а $\cos\angle CAD=1/3$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ диагональ $AC$ равна 1 и является одновременно её высотой. Из точек $A$ и $C$ к сторонам $CD$ и $AB$ соответственно проведены перпендикуляры $AE$ и $CF$. Найдите $AD$, если $AD=CF$ и $BC=CE$.
Ответ:
Решение:
Через одну вершину трапеции проведены две прямые. Одна из них проходит также через противоположную вершину трапеции и делит отрезок, соединяющий середины её оснований, в отношении $3:1$. В каком отношении делит этот отрезок другая прямая, делящая площадь трапеции пополам?
Ответ:
Решение:
Серединами оснований $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ являются точки $K$ и $L$ соответственно. Известно, что $AD=10\cdot BC$. На боковых сторонах $AB$ и $CD$ взяты соответственно точки $M$ и $N$ так, что прямая $MN$ параллельна основаниям трапеции. При каком значении отношения $AM:MB$ сумма площадей треугольников $BKN$ и $MNL$ будет наибольшей?
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC=4$ и $AD=12$, угол $ADC$ равен $67{,}5^\circ$. Найдите площадь трапеции, если известно, что биссектриса угла $CAD$ делит отрезок $CD$ пополам.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а боковые стороны образуют угол $30^\circ$. Основания имеют длины $6$ и $2$. Найдите высоту трапеции.
Ответ:
Решение:
Трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ такова, что $AC=BC+AD$, а один из углов между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$. Докажите, что $ABCD$ — равнобокая трапеция.
Ответ:
Решение:
В равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD\gt BC$) боковая сторона равна $20$ см, угол $BAC$ равен $45^\circ$. Пусть $O$ — центр окружности, описанной вокруг $ABCD$. Оказалось, что прямые $OD$ и $AB$ перпендикулярны. Найдите длину основания $AD$ трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ вписана окружность, касающаяся боковой стороны $AD$ в точке $K$. Найдите площадь трапеции, если $AK=16$, $DK=4$ и $CD=6$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=a$ и $BC=b$. Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, причём отрезок $MN$ параллелен основаниям трапеции. Диагональ $AC$ пересекает этот отрезок в точке $O$. Найдите $MN$, если известно, что площади треугольников $AMO$ и $CNO$ равны.
Ответ:
Решение:
Дана равнобокая трапеция, сумма боковых сторон которой равна большему основанию. Докажите, что острый угол между диагоналями не больше чем $60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ точки $K$, $N$, $M$ принадлежат отрезку $BC$, $BK=KN=MC=1$, а точки $L$, $O$, $P$, $Q$ принадлежат отрезку $AD$, $AL=LO=PO=QP=QD=3$. Прямые $BC$ и $AD$ параллельны. Точка $K$ соединена с точками $A$, $L$, $O$, $P$, $Q$, $D$. Точка $L$ соединена с точками $B$, $K$, $N$, $M$, $C$. Докажите, что точки пересечения прямых $BL$ и $AK$, $KO$ и $LN$, $KQ$ и $LC$ лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка этой прямой между боковыми сторонами трапеции.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 12 см, а длины биссектрис — 15 см и 13 см.
Ответ:
Решение:
Площадь трапеции равна 24. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции, если диагонали трапеции равны 6 и 10.
Ответ:
Решение:
В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$) окружность касается основания $BC$, боковых сторон $AB$ и $CD$ и проходит через точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Найти радиус окружности, если $AD:BC=9:7$, а площадь трапеции $S=8$.
Ответ:
Решение: