В трапеции $ABCD$ с меньшим основанием $BC$ и площадью, равной 2, прямые $BC$ и $AD$ касаются окружности диаметром $\sqrt{2}$ в точках $B$ и $D$ соответственно. Боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ пересекают окружность в точках $M$ и $N$ соответственно. Длина $MN$ равна 1. Найти величину угла $MBN$ и длину основания $AD$.
Ответ:
Решение:
Высота равнобедренной трапеции $ABCD$ равна 16, а её диагонали пересекаются в точке $O$. Окружность радиуса 3 с центром в точке $O$ касается меньшего основания $BC$ и боковой стороны $CD$ трапеции. Найти основания трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основания $AD$ и $BC$ равны $a$ и $b$ соответственно, угол $BCD$ равен $\alpha$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $D$, касается прямой $AB$. Найти радиус этой окружности.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $K$. Точки $P$ и $Q$ — центры описанных окружностей треугольников $ABD$ и $BCD$. Докажите, что $\angle PKA=\angle QKD$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольной трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) угол $A$ равен $60^\circ$. На стороне $CD$ выбирается точка $K$ так, что $\angle BKC=30^\circ$, при этом $AD=CD$. Прямая $BN$ пересекает сторону $CD$ в точке $N$, а отрезки $AK$ и $BN$ пересекаются в точке $P$. Найдите величину угла $DPB$ в градусах, если $KN:ND=2\sin\angle BDC$.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $E$ и $F$ такие, что $AF=AC$ и $BE=BC$. Найдите угол $ECF$.
Ответ:
Решение:
Треугольник $XYZ$ равнобедренный ($\angle XYZ=\angle XZY=35^\circ$). Внутри угла $XYZ$, но вне треугольника $XYZ$ взята точка $P$ так, что $\angle XPY=22^\circ$, а $\angle ZPY=55^\circ$. Найдите $\angle PYX$. Ответ дайте в градусах.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ и $\angle ABC=\frac{\pi}{9}$ на стороне $AB$ выбрана точка $D$ так, что $BD=AC$. Найдите величину угла $DCB$ (в радианах) и сравните её с $0{,}18$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на продолжении медианы $CM$ за точку $C$ отметили точку $K$ так, что $AM=CK$. Известно, что угол $BMC$ равен $60^\circ$. Докажите, что $AC=BK$.
Ответ:
Решение:
Дан равнобедренный треугольник $KLM$ ($KL=LM$) с углом при вершине, равным $114^\circ$. Точка $O$ расположена внутри треугольника $KLM$ так, что $\angle OMK=30^\circ$, а $\angle OKM=27^\circ$. Найдите величину угла $\angle LOM$.
Ответ:
Решение:
Внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ взята такая точка $P$, что $\angle PBA=\angle PCD=90^\circ$. Точка $M$ — середина стороны $AD$, причём $BM=CM$. Докажите, что $\angle PAB=\angle PDC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $CD$ — высота. Найдите длину радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если длины радиусов окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$, равны 6 и 8 соответственно.
Ответ:
Решение:
$AH$ — высота равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$). Точка $M$ — середина стороны $AB$. Из точки $M$ опущен перпендикуляр $MK$ на сторону $AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AH=MK$ и $AK=5$.
Ответ:
Решение:
Основание $AD$ параллелограмма $ABCD$ разбито точками $M_1$, $M_2$, $\ldots$, $M_9$ на десять равных частей. Прямые $BM_1$, $BM_2$, $\ldots$, $BM_9$ пересекают диагональ $AC$ в точках $N_1$, $N_2$, $\ldots$, $N_9$ соответственно. Найти длину седьмого по счету от вершины $A$ отрезка разбиения диагонали этими точками, если длина диагонали равна $136$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ из вершины прямого угла $C$ проведена высота $CK$. Периметр треугольника $ABC$ равен 13, а периметр треугольника $BCK$ равен 5. Найдите периметр треугольника $ACK$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CL$. Известно, что $LK=12$ и $\angle ABC=60^\circ$. Найти радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписаны два равных прямоугольника $PQRS$ и $P_1Q_1R_1S_1$ (при этом точки $P$ и $P_1$ лежат на стороне $AB$, точки $Q$ и $Q_1$ лежат на стороне $BC$, а точки $R$, $S$, $R_1$ и $S_1$ — на стороне $AC$). Известно, что $PS=12$, $P_1S_1=3$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$ взяты точки $D$ и $E$ соответственно, а отрезки $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $F$. Пусть $G$ — такая точка на отрезке $AC$, что прямая $BG$ делит $CF$ пополам. Известно, что $BE=EF=5$, $CD=DF=10$, $AG=18$. Найдите $AE$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MN=NC$. Прямая, параллельная $AN$ и проходящая через точку $M$, пересекает продолжение стороны $AC$ за точку $A$ в такой точке $D$, что $AB=CD$. Найдите $AB$, если $BC=6$, $\cos(2\angle CDM)=-\dfrac{3}{4}$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена на стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ так, что $CM:MD=1:2$. На отрезке $AM$ выбрана точка $N$ так, что $AN:NM=3:1$. Прямая $DN$ пересекает отрезок $MB$ в точке $P$. Найти отношение $MP:PB$.
Ответ:
Решение: