Через середину $M$ диагонали $AC$ произвольного выпуклого четырехугольника $ABCD$ проведена прямая $EF$ параллельная $BD$, пересекающая стороны $AB$ и $AD$. Найти площадь четырехугольника $ABCD$, если известно, что площадь четырехугольника $BCDF$ равна 5.
Ответ:
Решение:
Лёшин дачный участок имеет форму девятиугольника, у которого есть три пары равных и параллельных сторон (см. рисунок). Лёша знает, что площадь треугольника с вершинами в серединах оставшихся сторон девятиугольника равна 12 соток. Помогите ему найти площадь всего дачного участка.
Ответ:
Решение:
На вертикальной плоскости, изображающей стену, нарисована горизонтальная прямая, изображающая пол. На полу стоит свежеокрашенный квадрат со стороной $1$. Его кантуют (поворачивают на $90^\circ$, опираясь на одну из вершин). И так — четыре раза, пока он не будет стоять на той же стороне, что и вначале. При этом квадрат всё время касался стены, так что часть её оказалась окрашенной (или испачканной). Аналогичную процедуру проделали на другой стене, но квадрат был с диагональю длины $1$, а прокантовали его $7$ раз. На сколько меньшую площадь удалось окрасить (испачкать) во втором случае?
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечены такие точки $M$ и $N$, что $\angle ABM=15^\circ$, $\angle MBN=45^\circ$ и $\angle NBC=75^\circ$, а сумма и произведение площадей треугольников $ABM$ и $NBC$ равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь выпуклого четырехугольника $ABCD$, в котором $AB=3$, $AD=4$, $AC=6$, а площадь треугольника $ABC$ равна площади треугольника $ADC$ и в два раза больше площади треугольника $ABD$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ на высоте $BH$, равной основанию $AC$, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону $BC$ в точке $F$. Каково отношение площади треугольника $FCH$ к площади треугольника $ABC$? Какая часть площади треугольника $ABC$ находится внутри окружности?
Ответ:
Решение:
В равносторонний треугольник $ABC$ вписан равносторонний треугольник $DEF$ (см. рис.). Треугольники $AGD$ и $BFH$ — прямоугольные, катеты $GD$ и $FH$ параллельны прямой $AB$. Площадь треугольника $AGD$ равна $9$, а треугольника $BFH$ — $1$. Найдите площадь треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ со стороной 9 и квадрат $DEFG$ со стороной $\pi$ имеют общую вершину $D$, при этом точка $E$ лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма $AMNF$, если точка $C$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в отношении $1:\pi$.
Ответ:
Решение:
Угол $B$ при вершине равнобедренного треугольника $ABC$ равен $120^\circ$. Из вершины $B$ выпустили внутрь треугольника два луча под углом $60^\circ$ друг к другу, которые, отразившись от основания $AC$ в точках $P$ и $Q$, попали на боковые стороны в точки $M$ и $N$ (см. рисунок). Докажите, что площадь треугольника $PBQ$ равна сумме площадей треугольников $AMP$ и $CNQ$.
Ответ:
Решение:
На плоскости даны квадрат и правильный треугольник такие, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Найдите сторону данного квадрата.
Ответ:
Решение:
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 200 см$^2$. Точка $O$ — центр квадрата, а точка $M$ — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольник $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $K$ — середина стороны $BC$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $E$. Во сколько раз площадь четырехугольника $MBKE$ меньше площади четырехугольника $AECD$?
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AE$ и $BF$ пересекаются в точке $G$. Что больше: площадь треугольника $AGF$ или площадь четырёхугольника $GECF$?
Ответ:
Решение:
На рисунке слева направо изображены пересекающиеся квадраты со сторонами 12, 9, 7, 3 соответственно. На сколько сумма чёрных площадей больше, чем сумма серых площадей?
Ответ:
Решение:
Крест, состоящий из двух одинаковых больших и двух одинаковых маленьких квадратов, поместили внутрь ещё большего квадрата. Вычислите в сантиметрах сторону самого большого квадрата, если площадь креста — 810 см$^2$.
Ответ:
Решение:
На прямоугольном листе бумаги нарисовали картинку в форме «креста» из двух прямоугольников $ABCD$ и $EFGH$, стороны которых параллельны краям листа. Известно, что $AB=9$, $BC=5$, $EF=3$, $FG=10$. Найдите площадь четырёхугольника $AFCH$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольник $ABCD$. Прямая, проходящая через вершину $A$ и точку $K$ на стороне $BC$, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка $KC$, если $AD=60$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AN=7$, $NC=39$, $AM=12$, $MB=3$.
1. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.
2. Найдите площадь треугольника $MNC$.
1. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.
2. Найдите площадь треугольника $MNC$.
Ответ:
Решение:
Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке.
1. Найдите вторую сторону прямоугольника.
2. Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
1. Найдите вторую сторону прямоугольника.
2. Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
Ответ:
Решение: