Петя написал в своей тетради многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и предложил Васе угадать его степень. Вася задал Пете два вопроса: «Чему равно значение многочлена при $x=-3$?» и «Чему равен остаток от деления многочлена на $(x-n)$, где $n$ — его степень?». Получив ответы $1$ и $6$ соответственно, Вася уверенно назвал степень многочлена. Как он это сделал? Какова степень многочлена?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет условию $P(17)=P(23)=2023$. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $P(0)\gt 0$.
Ответ:
Решение:
Известно, что $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, имеет целый отрицательный корень и $P(3)=-19$. Найти этот корень.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $F(x)=1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+100x^{99}$. Можно ли, переставив коэффициенты в нём, получить многочлен $G(x)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots+g_{99}x^{99}$ такой, что для всех натуральных чисел $k\geqslant 2$ разность $F(k)-G(k)$ не кратна $100$?
Ответ:
Решение:
По целому числу $a$ построим последовательность \[ a_1=a,\quad a_2=1+a_1,\quad a_3=1+a_1a_2,\quad a_4=1+a_1a_2a_3,\quad \ldots \] (каждое следующее число на $1$ превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности её соседних членов $(a_{n+1}-a_n)$ — квадраты целых чисел.
Ответ:
Решение:
Вова задумал многочлен $Q(x)$ с целыми коэффициентами. Оказалось, что \[ Q(11)=Q(25)=450. \] Какое наименьшее значение может принимать его свободный член $c$, если $|c|\lt 150$?
Ответ:
Решение:
Доказать, что для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами выражение $P(b)-P(a)$ делится на $(b-a)$ при любых целых $a$, $b$, $a\neq b$. Известно, что уравнение $P(x)=8$ имеет целый корень на полуоси $x\geqslant 8$ и $P(4)=17$. Найти этот корень.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами при $x=2$ принимает значение $3$, а при $x=4$ — его значение равно $1$. Известно, что уравнение $P(n)=n-1$ имеет целое решение. Найти это решение.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сколько разных положительных значений, не превышающих десять миллионов, принимает многочлен \[ P(x,y)=x^3+8y^3-3xy^2-6x^2y-x-2y \] при всевозможных целых числах $x$ и $y$?
Ответ:
Решение:
Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n-1}+3$. Может ли число $a_{2015}-a_{2011}-39$ быть простым?
Ответ:
Решение:
Дана функция $f(x)$, значение которой при любом целом $x$ целое. Известно, что для любого простого числа $p$ существует такой многочлен $Q_p(x)$ степени, не превышающей $2013$, с целыми коэффициентами, что $f(n)-Q_p(n)$ делится на $p$ при любом целом $n$. Верно ли, что существует многочлен $g(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что $g(n)=f(n)$ для любого целого $n$?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$ и такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого числа $p$ и любого натурального $k$?
Ответ:
Решение:
Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N)))=0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны $0$. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?
Ответ:
Решение:
У многочлена $P(x)$ все коэффициенты — целые неотрицательные числа. Известно, что $P(1)=4$ и $P(5)=152$. Чему равно $P(11)$?
Ответ:
Решение:
Кощей Бессмертный открыл счет в банке «Спёрбанк». Изначально на счете было 0 рублей. В первый день Кощей кладёт на счёт $k$ ($k\gt 0$) рублей, а каждый следующий день добавляет туда на один рубль больше, чем накануне (на второй день он добавляет $k+1$ рублей, на третий — $k+2$ рубля и т. д.) Каждый раз сразу после того, как Кощей вносит деньги на счёт, общая величина счёта уменьшается банком в два раза. Найдите все такие $k$, при которых сумма на счёте всегда будет выражаться целым числом рублей.
Ответ:
Решение:
Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен $P(x)$ степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им $k$ целых чисел $n_1$, $n_2$, $\ldots$, $n_k$ и отдельно сообщит значение выражения $P(n_1)P(n_2)\ldots P(n_k)$. По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем $k$ учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?
Ответ:
Решение:
Назовём многочлен $P(x)$ бицелозначным, если числа $P(k)$ и $P'(k)$ целые при любом целом $k$. Пусть $P(x)$ — бицелозначный многочлен степени $d$, и пусть $N_d$ — произведение всех составных чисел, не превосходящих $d$ (произведение пустого множества сомножителей считаем равным 1). Докажите, что старший коэффициент многочлена $N_d\cdot P(x)$ — целый.
Ответ:
Решение:
На координатной плоскости вершины выпуклого четырехугольника имеют целые координаты и лежат на графике многочлена с целыми коэффициентами. Докажите, что если диагонали этого четырехугольника перпендикулярны, то они равны между собой.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $f$ третьей степени с целыми коэффициентами, причём старший коэффициент $f$ равен 1 или $-1$. Известно, что $f$ имеет три различных корня, каждый из которых равен квадрату натурального числа. Докажите, что в последовательности значений $|f(1)|$, $|f(2)|$, $|f(3)|$ и т. д. встретится квадрат натурального числа.
Ответ:
Решение: