Муравейник, в котором проживает муравей Гоша, имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с боковым ребром $50$ см и плоским углом при вершине $\pi/6$. Гоша совершил прогулку по поверхности муравейника, выйдя из вершины основания, возвратившись в нее же и побывав на всех боковых гранях муравейника. Во время своей прогулки Гоша никогда не приближался к вершине муравейника ближе, чем на $30$ см. Какое наименьшее возможное расстояние мог преодолеть Гоша за время прогулки?
Ответ:
Решение:
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы которого прямые. Саша утверждает, что кратчайший путь по поверхности этого многогранника от вершины $X$ до вершины $Y$ имеет длину $4$. Прав ли он?
Ответ:
Решение:
Назовём горой усечённый прямой круговой конус с длиной окружности нижнего основания $8$, а верхнего основания — $6$. Склон горы наклонён под углом $60^\circ$ к плоскости основания. На окружности нижнего основания лежит точка $A$. Турист начинает подъём по склону из точки $A$ к ближайшей точке верхнего основания, а затем продолжает свой путь по краю верхнего основания, и проходит расстояние $2$. После этого он возвращается в точку $A$ кратчайшим маршрутом. Чему равна длина обратного пути?
Ответ:
Решение:
Гора имеет форму конуса с вершиной в точке $C$. Точка $O$ — центр основания, точка $A$ лежит на основании конуса, а точка $B$ — на отрезке $CA$, причем $CA=60$, $AB=10$, $OA=20$. Железная дорога проложена по кратчайшему пути вокруг горы из точки $A$ в точку $B$. Точка $H$ — ближайшая к вершине горы из всех точек железной дороги. Найдите длину пути $BH$.
Ответ:
Решение:
Основанием прямой призмы $ABCA_1B_1C_1$ служит треугольник $ABC$, в котором $\angle ACB=90^\circ$, $AC=3$ см, $CB=4$ см. Высота призмы равна $12$ см. Точка $K$ лежит на отрезке $AC_1$, причём $AK=\dfrac{AC_1}{3}$. Муравей начал движение из точки $K$ и движется со скоростью $1$ см/с по поверхности призмы. За какое наименьшее время в секундах муравей может достигнуть точки $B_1$?
Ответ:
Решение:
Тело в форме тетраэдра $ABCD$ с одинаковыми ребрами поставлено гранью $ABC$ на плоскость. Точка $F$ — середина ребра $CD$, точка $S$ лежит на прямой $AB$, $S\neq A$, $AB=BS$. В точку $S$ сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку $F$, чтобы пройденный им путь был минимальным?
Ответ:
Решение:
Расстоянием между двумя точками на поверхности прямоугольного параллелепипеда $ABCDA'B'C'D'$ называют наименьшую длину ломаной на поверхности, соединяющей эти точки. По поверхности параллелепипеда с размерами $AB=2$, $AD=2\sqrt{2}$, $AA'=4$ ползет муравей так, что расстояние на поверхности между ним и вершиной $A$ всегда постоянное и равно $2\sqrt{2}$. Нарисовать замкнутую траекторию движения муравья по поверхности параллелепипеда и найти ее длину.
Ответ:
Решение:
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рисунок). Найдётся ли ещё какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?
Ответ:
Решение:
Рубик сделал развёртку куба размером $3\times3\times3$ и отметил на ней две точки (см. рисунок). Каково будет расстояние между этими точками после того, как Рубик склеит из развёртки куб?
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ ($ABCDEF$ — основание) боковое ребро равно $a$, плоский угол при вершине $S$ равен $10^\circ$. Муравей ползёт по поверхности пирамиды из вершины $A$, стремится побывать на всех боковых рёбрах (возможно в вершинах) и вернуться в точку $A$. Какова длина его кратчайшего пути?
Ответ:
Решение:
Стороны основания кирпича равны 28 см и 9 см, а высота 6 см. Улитка ползёт прямолинейно по граням кирпича из вершины нижнего основания в противоположную вершину верхнего основания. Горизонтальная и вертикальная составляющие ее скорости $v_x$ и $v_y$ связаны соотношением $v_x^2+4v_y^2=1$ (например, на верхней грани $v_y=0$ см/мин, поэтому $v_x=v=1$ см/мин). Какое наименьшее время может затратить улитка на своё путешествие?
Ответ:
Решение: