Петя и еще 9 человек играют в такую игру: каждый бросает игральную кость. Игрок получает приз, если он выбросил число очков, которое не удалось выбросить никому больше.
а) Какова вероятность того, что Петя получит приз?
б) Какова вероятность того, что хоть кто-то получит приз?
а) Какова вероятность того, что Петя получит приз?
б) Какова вероятность того, что хоть кто-то получит приз?
Ответ:
Решение:
У короля Артура два одинаково мудрых советника — Мерлин и Персифаль. Каждый из них находит верный ответ на любой вопрос с вероятностью $p$ или неверный ответ с вероятностью $q=1-p$.
Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.
Однажды Артур задумался — зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:
— Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если я оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из Вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте мне, должен ли я уволить одного из вас?
— Кого именно ты собираешься уволить, король Артур? — спросили советники.
— Если я приму решение уволить одного из вас, то сделаю выбор с помощью жребия, бросив монету.
Советники ушли думать над ответом. Советники, повторим, одинаково мудрые, но не одинаково честные. Персифаль очень честен и постарается дать верный ответ, даже если ему грозит увольнение. А Мерлин, честный во всем прочем, в этой ситуации решает дать такой ответ, чтобы вероятность его увольнения была как можно меньше. Какова вероятность того, что Мерлин будет уволен?
Если оба советника говорят одно и то же, король слушается их. Если они говорят противоположное, то король выбирает решение, подбрасывая монету.
Однажды Артур задумался — зачем ему два советника, не хватит ли одного? Тогда король позвал советников и сказал:
— Мне кажется, что вероятность принятия верных решений не уменьшится, если я оставлю одного советника и буду его слушаться. Если это так, я должен уволить одного из Вас. Если это не так, я оставлю все, как есть. Ответьте мне, должен ли я уволить одного из вас?
— Кого именно ты собираешься уволить, король Артур? — спросили советники.
— Если я приму решение уволить одного из вас, то сделаю выбор с помощью жребия, бросив монету.
Советники ушли думать над ответом. Советники, повторим, одинаково мудрые, но не одинаково честные. Персифаль очень честен и постарается дать верный ответ, даже если ему грозит увольнение. А Мерлин, честный во всем прочем, в этой ситуации решает дать такой ответ, чтобы вероятность его увольнения была как можно меньше. Какова вероятность того, что Мерлин будет уволен?
Ответ:
Решение:
Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный промахивается мимо первой корзины с вероятностью $\frac{3}{4}$, и с такой же вероятностью он промахивается мимо второй. За утро Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Известно, что в корзины попало ровно 4 из них. Найдите вероятность того, что ни одна из корзин не пустая.
Ответ:
Решение:
Когда Рассеянному Учёному приходит в голову гениальная идея, он записывает её на листке бумаги, но тут же понимает, что идея не гениальная, комкает лист и кидает под стол, где стоят две мусорные корзины. Учёный попадает в первую корзину с вероятностью 0,25, и с такой же вероятностью он попадает во вторую. За утро Учёный бросил под стол пять скомканных гениальных идей. Найдите вероятность того, что в каждой корзине оказалось хотя бы по одной идее. Результат округлите до тысячных.
Ответ:
Решение:
В летнем лагере 15 лучших игроков играют в настольный теннис «на победителя». В каждой игре побеждает сильнейший, проигравший выбывает, а победитель играет со следующим игроком. Очерёдность вступления в игру была разыграна по жребию. Известно, что первый игрок победил уже пять раз. Какова вероятность того, что он же победит и в следующей игре?
Ответ:
Решение:
Алеша, Боря и Вася проводят между собой мини-турнир по теннису: каждый играет с каждым один раз. Выигравший получает 1 очко, проигравший 0, ничьих в теннисе не бывает. Абсолютным победителем мини-турнира объявляется тот, у кого в сумме 2 очка. Известно, что Алеша выигрывает у Бори с вероятностью 0,6, а Боря у Васи — с вероятностью 0,4. Какова вероятность события $C$ «абсолютного победителя не будет»?
Ответ:
Решение:
Родители уехали на несколько дней, и за Валей и Колей присматривает Рассеянный Ученый. По утрам он варит им манную кашу. Слишком густую кашу Коля принципиально не ест, а Валя ни за что не будет есть слишком жидкую. Известно, что в среднем пять раз из семи каша получается слишком густой для Коли и пять раз из семи каша получается слишком жидкой для Вали. Какова вероятность того, что хотя бы один из них согласится есть кашу, которую завтра им сварит Ученый?
Ответ:
Решение:
Две футбольные команды А. и Б. одинаково хорошо играют в футбол. Тренеры договорились о двух товарищеских матчах. За победу в матче команде дается 2 очка, за ничью — 1 очко, при поражении — 0 очков. Вероятность ничьей в каждой встрече одинакова и равна $p$.
На следующий год прошла аналогичная товарищеская серия из двух матчей. Команды играли в том же составе, они были по-прежнему равной силы, но вероятность $p$ выросла. Можно ли утверждать, что увеличилась вероятность того, что команды получат поровну очков?
На следующий год прошла аналогичная товарищеская серия из двух матчей. Команды играли в том же составе, они были по-прежнему равной силы, но вероятность $p$ выросла. Можно ли утверждать, что увеличилась вероятность того, что команды получат поровну очков?
Ответ:
Решение:
Шоссе, идущее с запада на восток, пересекается с $n$ равнозначными дорогами, пронумерованными числами от 1 до $n$ по порядку. По этим дорогам с юга на север и с севера на юг едут машины. Вероятность того, что машина подъедет к шоссе по каждой из дорог, равна $\frac{1}{n}$. Точно так же, вероятность того, что машина свернет с шоссе на каждую из дорог, равна $\frac{1}{n}$. Дорога, по которой машина покидает шоссе, не зависит от того, где эта машина въехала на шоссе.
Найдите вероятность того, что случайная машина, выехавшая на шоссе, минует $k$-й перекресток (проедет его насквозь или повернет на нем).
Найдите вероятность того, что случайная машина, выехавшая на шоссе, минует $k$-й перекресток (проедет его насквозь или повернет на нем).
Ответ:
Решение:
У Вити в неделю пять уроков математики — по одному во все дни с понедельника по пятницу. Витя знает, что с вероятностью $\frac{1}{2}$ учитель во время учебной недели не проверит у него домашнее задание, а с вероятностью $\frac{1}{2}$ проверит, причем только на одном из уроков математики, зато не угадаешь когда — на любом уроке с равными шансами.
В конце урока математики в четверг Витя понял, что пока на этой неделе учитель так и не проверил у него домашнее задание. Какова вероятность того, что домашнее задание будет проверено в пятницу?
В конце урока математики в четверг Витя понял, что пока на этой неделе учитель так и не проверил у него домашнее задание. Какова вероятность того, что домашнее задание будет проверено в пятницу?
Ответ:
Решение:
Выходя из дома на работу, Рассеянный Учёный с вероятностью 0,2 забывает дома шляпу, с вероятностью 0,1 — очки (независимо от шляпы), а с вероятностью 0,3 — зонтик (независимо от шляпы и очков). Если он что-то забыл, то консьержка в подъезде говорит ему об этом. Если Учёный забыл что-то одно, то решает не возвращаться из-за ерунды. Если он забыл две или три вещи, то возвращается за ними.
Завтра Учёный собирается на работу. С какой вероятностью ему придётся вернуться домой за забытыми вещами?
Завтра Учёный собирается на работу. С какой вероятностью ему придётся вернуться домой за забытыми вещами?
Ответ:
Решение:
Буратино каждый месяц играет в лотерею «6 из 45», устроенную Карабасом-Барабасом. В лотерее 45 пронумерованных шаров, и в каждом тираже выпадает 6 случайных выигрышных шаров.
Буратино заметил, что в каждом следующем тираже не бывает шаров, выпавших в предыдущем тираже: во втором тираже не было шаров из первого, в третьем — из второго и т. д.
Буратино не верит в события, вероятность которых меньше чем 0,01. Если происходит такое событие, то Буратино начинает подозревать неладное. После какого тиража Буратино начнет подозревать, что Карабас-Барабас жульничает?
Буратино заметил, что в каждом следующем тираже не бывает шаров, выпавших в предыдущем тираже: во втором тираже не было шаров из первого, в третьем — из второго и т. д.
Буратино не верит в события, вероятность которых меньше чем 0,01. Если происходит такое событие, то Буратино начинает подозревать неладное. После какого тиража Буратино начнет подозревать, что Карабас-Барабас жульничает?
Ответ:
Решение:
Маша, Нина, Лена и Оля — подруги. Все они разного роста, но разница совсем невелика — на глаз не определить. Однажды они решили узнать, кто выше, а кто ниже. Оказалось, что Нина ниже Маши, а Лена выше Оли. Какова при этом условии вероятность того, что Нина выше Лены?
Ответ:
Решение:
Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма выпавших при всех бросках очков не станет больше либо равна числу 3. Найдите вероятность того, что при последнем броске выпадет менее четырёх очков.
Ответ:
Решение:
Одно время были популярны викторины, напоминающие телевизионную игру «Брейн-ринг». В викторине участвует несколько команд, а сама игра состоит из нескольких боёв. Очерёдность вступления команд в игру определяется жеребьёвкой. Сначала между собой играют команды № 1 и № 2. Ничья невозможна, проигравшая команда выбывает, а победитель играет с командой № 3. Проигравшая команда выбывает, победитель встречается с командой № 4 и так далее. Победителем игры является команда, выигравшая последний бой.
Предположим, что в викторине «Брейн-ринг» встречаются шесть абсолютно одинаковых по силе команд, то есть в любом бою шансы противников одинаковы. Во сколько раз вероятность стать победителем у команды № 6 выше, чем у команды № 4?
Предположим, что в викторине «Брейн-ринг» встречаются шесть абсолютно одинаковых по силе команд, то есть в любом бою шансы противников одинаковы. Во сколько раз вероятность стать победителем у команды № 6 выше, чем у команды № 4?
Ответ:
Решение:
В небольшом городе с населением менее 10 000 человек по заказу ветеринарной службы было опрошено более трёх тысяч респондентов. Им предлагались два вопроса: «Есть ли у вас дома кошка?» и «Есть ли у вас дома собака?». Для обработки собранные данные были переданы Рассеянному Учёному, который после изучения результатов воскликнул:
— Надо же! Оказывается, в этом замечательном городе события «Дома живёт кошка» и «Дома живёт собака», скорее всего, независимы! Никогда бы не подумал.
Как выяснилось позже, Учёный был прав: эти события действительно оказались независимы. Рассеянный Учёный представил данные в виде таблицы, но по рассеянности ошибся в одном из четырёх чисел.
Оцените (найдите примерно) общее количество участников опроса. Объясните свои рассуждения.
— Надо же! Оказывается, в этом замечательном городе события «Дома живёт кошка» и «Дома живёт собака», скорее всего, независимы! Никогда бы не подумал.
Как выяснилось позже, Учёный был прав: эти события действительно оказались независимы. Рассеянный Учёный представил данные в виде таблицы, но по рассеянности ошибся в одном из четырёх чисел.
| Есть собака | Нет собаки | |
|---|---|---|
| Есть кошка | 765 | 1110 |
| Нет кошки | 978 | 121 |
Ответ:
Решение:
В летнем математическом лагере много школьников. Вероятность того, что двое случайно выбранных школьников уже знакомы, равна $p$ (независимо от того, с кем ещё они знакомы). Какова вероятность того, что четверых случайно выбранных школьников удастся поселить в две комнаты по двое так, чтобы в обеих комнатах школьники были знакомы, а любые двое из двух разных комнат — нет?
Ответ:
Решение:
На стол в ряд выложили 50 карточек, пронумерованных слева направо числами от 1 до 50. Снизу карточки синие, а сверху — красные. Вася выбирает случайным образом 25 карточек, лежащих подряд (фрагмент ряда), и переворачивает их. Затем к столу подходит Ася и делает то же самое — выбирает случайный фрагмент из 25 карточек, лежащих подряд, и переворачивает их, независимо от того, что делал раньше Вася. У какой карточки (или карточек) вероятность оказаться красной стороной вверх после всех переворачиваний меньше, чем у других?
Ответ:
Решение:
Шоссе Долгое пересекается с улицей Узкой и с улицей Тихой (см. рис.). На обоих перекрёстках стоят светофоры. Первый светофор $x$ секунд разрешает движение по шоссе, а полминуты — по ул. Узкой. Второй светофор две минуты разрешает движение по шоссе, а $x$ секунд — по ул. Тихой. Светофоры работают независимо друг от друга. При каком значении $x$ вероятность проехать по Долгому шоссе оба перекрестка, не останавливаясь на светофорах, будет наибольшей? Чему равна эта наибольшая вероятность?
Ответ:
Решение:
Машина привезла 4 мешка цемента. Они лежат в кузове стопкой. За раз рабочий может перетащить один мешок из машины к калитке, либо от калитки в сарай. Рабочий может таскать мешки в любом порядке, каждый раз он берёт верхний мешок, несёт его куда надо и кладёт тоже наверх стопки (если там уже есть мешки). Если есть выбор, нести мешок из машины или от калитки, то рабочий выбирает каждый из этих вариантов с вероятностью 0,5. В итоге все мешки оказались в сарае.
а) Какова вероятность того, что в сарае мешки окажутся в обратном порядке по сравнению с тем, как они лежали в машине?
б) Какова вероятность того, что в сарае самым нижним окажется мешок, который в машине был вторым снизу?
а) Какова вероятность того, что в сарае мешки окажутся в обратном порядке по сравнению с тем, как они лежали в машине?
б) Какова вероятность того, что в сарае самым нижним окажется мешок, который в машине был вторым снизу?
Ответ:
Решение: