Ответ:
Решение:
Дискриминант приведённого квадратного трёхчлена равен $D$. Найдите его больший корень, если известно, что его корни различны, и они равны $D$ и $1{,}5D$.
Ответ:
Решение:
Для каждого целого $k$ ($-36\leqslant k\leqslant 15$) Петя выписал на доску трёхчлен \[ y=x^2+kx+117. \] После чего Вася для каждого из этих трёхчленов выписал его действительные корни (если они есть). Чему равна сумма выписанных Васей чисел?
Ответ:
Решение:
На сколько одно из положительных чисел больше другого, если их среднее арифметическое равно $2\sqrt3$, а среднее геометрическое равно $\sqrt3$?
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$. Известно, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $x_1/x_2^2$ и $x_2/x_1^2$. Найдите $p$.
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$. Известно, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $\dfrac{x_1}{x_2^2}$ и $\dfrac{x_2}{x_1^2}$. Найдите $p$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму действительных корней всех квадратных трёхчленов вида $y=x^2+px+82$, где $p$ принимает все целые значения от $-11$ до $31$.
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения $\dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}$, где $p$ и $q$ — соответственно наибольший и наименьший корни уравнения $x^3-8x^2+8x=1$.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму действительных корней всех квадратных трёхчленов вида $y=x^2+px+122$, где $p$ принимает все целые значения от $-35$ до $17$.
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — различные натуральные числа с суммой 1060. Найдите максимально возможное значение суммы корней уравнения $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0$.
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — различные натуральные числа с суммой 1330. Найдите максимально возможное значение суммы корней уравнения $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0$.
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^2+ax+5=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1^2+\dfrac{250}{19x_2^3}=x_2^2+\dfrac{250}{19x_1^3}. \] Найдите все возможные значения $a$.
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^2+ax+2=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1^3+\dfrac{14}{x_2^2}=x_2^3+\dfrac{14}{x_1^2}. \] Найдите все возможные значения $a$.
Ответ:
Решение:
Прямая пересекает график функции $y=x^2$ в двух точках с абсциссами $x_1$ и $x_2$, а ось абсцисс — в точке с абсциссой $x_3$. Какое наибольшее целое значение может принимать $x_3$, если выполняется равенство $x_1\cdot x_2=573$?
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-2ax+3$, $f_2(x)=x^2+x+b$, $f_3(x)=3x^2+(1-4a)x+6+b$ и $f_4(x)=3x^2+(2-2a)x+3+2b$. Пусть разности корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$. Известно, что $|A|\neq|B|$. Найдите отношение $\dfrac{C^2-D^2}{A^2-B^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-ax+2$, $f_2(x)=x^2+3x+b$, $f_3(x)=3x^2+(3-2a)x+4+b$ и $f_4(x)=3x^2+(6-a)x+2+2b$. Пусть разности их корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$, при этом $|A| e|B|$. Найдите отношение $\dfrac{C^2-D^2}{A^2-B^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $f_1(x)=x^2-ax-3$, $f_2(x)=x^2+2x-b$, $f_3(x)=3x^2+(2-2a)x-6-b$ и $f_4(x)=3x^2+(4-a)x-3-2b$. Пусть разности корней равны соответственно $A$, $B$, $C$ и $D$. Известно, что $|C|\ne|D|$. Найдите отношение $\frac{A^2-B^2}{C^2-D^2}$. Значения $A$, $B$, $C$, $D$, $a$, $b$ не заданы.
Ответ:
Решение:
Уравнение $25x^3-120x^2+156x+a=0$ имеет три различных корня, которые образуют арифметическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра $a$. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^3+7x^2-42x+a=0$ имеет три различных корня, которые образуют геометрическую прогрессию. Найдите все возможные значения параметра $a$. Если их несколько, в ответ запишите наибольшее из них.
Ответ:
Решение:
Сколько существует квадратных трёхчленов вида \[x^2+ax+b\] с целыми корнями, у которых $a+b=19$.
Ответ:
Решение: