На какое наименьшее натуральное число нужно умножить число $A=1188$, чтобы получилось некоторое натуральное число в натуральной степени, отличной от $1$?
Ответ:
Решение:
Числа $p$ и $q$ — простые, и при этом выполнено равенство \[ 7p+q^5=17\,528. \] Найдите наибольшее возможное значение суммы $p+q$.
Ответ:
Решение:
Олег должен написать в тетради $373$ подряд идущих натуральных числа таких, что их среднее арифметическое — простое число. Какое наименьшее число он мог написать в тетради?
Ответ:
Решение:
Среди всех решений уравнения \[3\,930\,400x=y^z,\] где $x$, $y$, $z$ — натуральные числа, причём $z\geqslant2$, найдите такое, при котором $x$ принимает наименьшее значение. В ответе укажите соответствующее значение $y$.
Ответ:
Решение:
Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N)))=0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны $0$. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$ и такой многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого числа $p$ и любого натурального $k$?
Ответ:
Решение:
Дана функция $f(x)$, значение которой при любом целом $x$ целое. Известно, что для любого простого числа $p$ существует такой многочлен $Q_p(x)$ степени, не превышающей $2013$, с целыми коэффициентами, что $f(n)-Q_p(n)$ делится на $p$ при любом целом $n$. Верно ли, что существует многочлен $g(x)$ с вещественными коэффициентами такой, что $g(n)=f(n)$ для любого целого $n$?
Ответ:
Решение:
Последовательность задана рекуррентным соотношением $a_1=a_2=1$, $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n-1}+3$. Может ли число $a_{2015}-a_{2011}-39$ быть простым?
Ответ:
Решение:
Сколько разных положительных значений, не превышающих десять миллионов, принимает многочлен \[ P(x,y)=x^3+8y^3-3xy^2-6x^2y-x-2y \] при всевозможных целых числах $x$ и $y$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами при $x=2$ принимает значение $3$, а при $x=4$ — его значение равно $1$. Известно, что уравнение $P(n)=n-1$ имеет целое решение. Найти это решение.
Ответ:
Решение:
Доказать, что для любого многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами выражение $P(b)-P(a)$ делится на $(b-a)$ при любых целых $a$, $b$, $a\neq b$. Известно, что уравнение $P(x)=8$ имеет целый корень на полуоси $x\geqslant 8$ и $P(4)=17$. Найти этот корень.
Ответ:
Решение:
Вова задумал многочлен $Q(x)$ с целыми коэффициентами. Оказалось, что \[ Q(11)=Q(25)=450. \] Какое наименьшее значение может принимать его свободный член $c$, если $|c|\lt 150$?
Ответ:
Решение:
По целому числу $a$ построим последовательность \[ a_1=a,\quad a_2=1+a_1,\quad a_3=1+a_1a_2,\quad a_4=1+a_1a_2a_3,\quad \ldots \] (каждое следующее число на $1$ превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности её соседних членов $(a_{n+1}-a_n)$ — квадраты целых чисел.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $F(x)=1+2x+3x^2+4x^3+\ldots+100x^{99}$. Можно ли, переставив коэффициенты в нём, получить многочлен $G(x)=g_0+g_1x+g_2x^2+g_3x^3+\ldots+g_{99}x^{99}$ такой, что для всех натуральных чисел $k\geqslant 2$ разность $F(k)-G(k)$ не кратна $100$?
Ответ:
Решение:
Известно, что $P(x)$ — многочлен с целыми коэффициентами, имеет целый отрицательный корень и $P(3)=-19$. Найти этот корень.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами удовлетворяет условию $P(17)=P(23)=2023$. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение $P(0)\gt 0$.
Ответ:
Решение:
Петя написал в своей тетради многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами и предложил Васе угадать его степень. Вася задал Пете два вопроса: «Чему равно значение многочлена при $x=-3$?» и «Чему равен остаток от деления многочлена на $(x-n)$, где $n$ — его степень?». Получив ответы $1$ и $6$ соответственно, Вася уверенно назвал степень многочлена. Как он это сделал? Какова степень многочлена?
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное $N\gt 1$ хорошим, если найдутся такие натуральные числа $a_1, \ldots, a_N$, что наибольшие общие делители всевозможных пар из них образуют $\dfrac{N(N-1)}{2}$ последовательных натуральных чисел. Существует ли хорошее натуральное число, большее $10^{100}$?
Ответ:
Решение:
Пусть $p$ и $q$ — взаимно простые натуральные числа. Лягушка прыгает по числовой прямой, начиная в точке 0, каждый раз либо на $p$ вправо, либо на $q$ влево. Однажды лягушка вернулась в 0. Докажите, что для любого натурального $d\lt p+q$ найдутся два числа, посещённые лягушкой и отличающиеся на $d$.
Ответ:
Решение: