Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ делится на $b+1$ и 43 делится на $a+b$.
1. Укажите любое возможное значение $a$.
2. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты.
1. Укажите любое возможное значение $a$.
2. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
На доске написано некоторое двузначное число. Незнайка заявил, что оно делится на 3, 4, 5, 9, 10, 15, 18, 30. Знайка, услышав это, огорчил Незнайку тем, что тот ошибся ровно 4 раза. Какое число могло быть написано на доске? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Вася заменил в двух числах одинаковые цифры одинаковыми буквами, разные — разными. Получилось, что число ЗАРАЗА делится на 4, а АЛМАЗ делится на 28. Найдите две последние цифры суммы $\text{ЗАРАЗА}+\text{АЛМАЗ}$.
Ответ:
Решение:
У Веры есть набор различных по массе гирь, каждая из которых весит целое число грамм. Известно, что самая лёгкая гиря набора весит в 71 раз меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Также известно, что две самые лёгкие гири набора вместе весят в 34 раза меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Какое наименьшее число грамм может весить самая лёгкая гиря?
Ответ:
Решение:
На доске записано натуральное число. Николай заметил, что может двумя способами приписать к нему цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Сколькими способами он может приписать к данному числу цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 3?
Ответ:
Решение:
На уроке физкультуры весь класс выстроился по росту (у всех детей разный рост). Дима заметил, что людей, которые выше него, в четыре раза больше, чем людей, которые ниже него. А Лёня заметил, что людей, которые выше него, в три раза меньше, чем людей, которые ниже него. Сколько всего человек в классе, если известно, что их не больше 30?
Ответ:
Решение:
Число 890 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на 1 (увеличив или уменьшив), можно получить число, кратное 11. Найдите наименьшее трехзначное число, обладающее таким же свойством.
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 50 написаны на карточках. Можно ли разложить эти карточки в 11 мешков (чтобы в каждый мешок попала хотя бы одна карточка) так, чтобы в каждом мешке произведение чисел на карточках делилось на 9?
Ответ:
Решение:
Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвёртого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?
Ответ:
Решение:
Вчера Никита купил несколько ручек: чёрные — по 9 рублей за штуку и синие — по 4 рубля за штуку. Зайдя сегодня в тот же магазин, он обнаружил, что цены на ручки изменились: чёрные стали стоить 4 рубля за штуку, а синие — 9 рублей. Увидев такое, Никита сказал с досадой: «Покупай я те же ручки сегодня, сэкономил бы 49 рублей». Не ошибается ли он?
Ответ:
Решение:
Сумма двух целых чисел равна $S$. Маша умножила левое число на целое число $a$, правое — на целое число $b$, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на $S$. Алёша, наоборот, левое число умножил на $b$, а правое — на $a$. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на $S$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ называется «хорошим», если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на $n$. Запишите десять «хороших» чисел, которые меньше, чем 1000. (Достаточно привести ответ.)
Ответ:
Решение:
На длинной ленте написаны цифры $201520152015\ldots$ Вася вырезал ножницами два куска ленты и составил из них положительное число, которое делится на 45. Приведите пример таких кусков и запишите число, составленное из них.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число $n$, при котором $(7!)!$ делится на $n!$. (Здесь $k!$ означает произведение $1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k$.)
Ответ:
Решение:
Аделина, Эвелина и Паулина писали олимпиаду по математике, где за каждую задачу можно было получить некоторое целое неотрицательное количество баллов. После объявления итогов выяснилось, что Аделина и Эвелина показали одинаковый результат, а сумма их баллов больше 15. Сумма баллов всех трех девочек оказалась меньше 60 и в $3\frac{1}{3}$ раза больше, чем набрала Паулина. Сколько баллов на олимпиаде набрала Аделина?
Ответ:
Решение:
Учитель выписал на доску несколько подряд идущих натуральных чисел, начиная с единицы. Петя заметил, что ровно 17 из них делятся на 3, а Вася заметил, что ровно 3 из них делятся на 13. Сколько чисел выписал на доску учитель?
Ответ:
Решение:
В 7 «Б» классе учится больше 3, но меньше 15 детей. На Новый год к ним пришёл Дед Мороз с мешком, в котором было 195 конфет. Раздав всем ребятам в классе поровну конфет, Дед Мороз обнаружил, что в мешке осталось 8 конфет. Сколько конфет получил каждый из ребят?
Ответ:
Решение:
Глеб задумал натуральные числа $N$ и $a$, $a\lt N$. Число $a$ он написал на доске. Затем он начал выполнять следующую операцию: делить $N$ с остатком на последнее выписанное на доску число, а полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие $N$ и $a$, чтобы сумма выписанных чисел была больше $100N$?
Ответ:
Решение:
Обозначим через $S(n,k)$ количество не делящихся на $k$ коэффициентов разложения многочлена $(x+1)^n$ по степеням $x$.
а) Найдите $S(2012,3)$.
б) Докажите, что $S(2012^{2011},2011)$ делится на $2012$.
а) Найдите $S(2012,3)$.
б) Докажите, что $S(2012^{2011},2011)$ делится на $2012$.
Ответ:
Решение: