Дано натуральное число $n\gt 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую) хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число. Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.
Ответ:
Решение:
Дано несколько белых и несколько чёрных точек. Из каждой белой точки идёт стрелка в каждую чёрную, на каждой стрелке написано натуральное число. Известно, что если пройти по любому замкнутому маршруту, то произведение чисел на стрелках, идущих по направлению движения, равно произведению чисел на стрелках, идущих против направления движения. Обязательно ли тогда можно поставить в каждой точке натуральное число так, чтобы число на каждой стрелке равнялось произведению чисел на её концах?
Ответ:
Решение:
Сколько существует различных квадратных трехчленов \[ f(x)=x^2+px+q \] с целыми коэффициентами $p$, $q$, для которых выполнены два условия:
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.
1. $f(2023)=2025^{24}$;
2. уравнение $f(x)=0$ имеет целый корень.
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=p$ для любого простого числа $p$. Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant18$, $1\leqslant y\leqslant18$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=[p/2]$ для любого простого числа $p$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant 21$, $1\leqslant y\leqslant 21$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Цена на товар повышалась в последний день каждого месяца на 5, $4\frac16$, $2\frac67$ или $6\frac23$ процентов. Сколько прошло месяцев к тому моменту, когда первоначальная цена товара увеличилась ровно на 50%?
Ответ:
Решение:
У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4$, $\ldots$, $\ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?
Ответ:
Решение:
Существует ли такая гипербола, задаваемая уравнением вида $y=\dfrac{a}{x}$, что в первой координатной четверти ($x\gt 0$, $y\gt 0$) под ней лежат ровно 82 точки с целочисленными координатами?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, обладающие следующим свойством: $7p+1$ делится на $q$, а $7q+1$ делится на $p$.
Ответ:
Решение:
Для каждого простого $p$ найдите наибольшую натуральную степень числа $p!$, на которую делится число $(p^2)!$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что число $2^{2014}+1$ можно представить в виде произведения трёх натуральных чисел, больших $1$.
Ответ:
Решение:
Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, для которых выполнено равенство \[ p^q-q^p+3=2^{p-1}. \]
Напоминаем, что «простыми» называют натуральные числа, отличные от $1$, которые делятся только на $1$ и на само себя.
Ответ:
Решение:
Даны $2015$ попарно взаимно простых натуральных чисел, не превосходящих $10^7$. Могут ли они все быть составными?
Ответ:
Решение:
Число $2015$ можно представить в виде суммы последовательных целых чисел различным образом, например $2015=1007+1008$ или $2015=401+402+403+404+405$. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Даны $n$ различных составных натуральных чисел $a_1,\ldots,a_n$, принадлежащих интервалу $(1;2013)$. Известно, что для любых двух различных чисел $a_i$, $a_j$ из этого набора выполнено условие $\text{НОД}(a_i,a_j)=1$.
а) Приведите пример такого набора для $n=14$.
б) Докажите, что не существует такого набора, содержащего 15 чисел.
а) Приведите пример такого набора для $n=14$.
б) Докажите, что не существует такого набора, содержащего 15 чисел.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел, которые делятся на $2012$ и имеют, не считая единицы и самого этого числа, ровно $2199$ различных делителей.
Ответ:
Решение:
Найдите разложение на простые множители наименьшего натурального числа, имеющего ровно 2020 различных натуральных делителей.
Ответ:
Решение:
Про натуральные числа $m$ и $n$ известно, что $3n^3=5m^2$. Найдите наименьшее возможное значение $m+n$.
Ответ:
Решение:
а) Найдите количество натуральных делителей числа $N=1\underbrace{00\ldots0}_{40}$, не являющихся ни точными квадратами (т. е. квадратами натуральных чисел), ни точными кубами;
б) … не представимых в виде $m^n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n\gt 1$.
б) … не представимых в виде $m^n$, где $m$ и $n$ — натуральные числа, причём $n\gt 1$.
Ответ:
Решение:
На листе бумаги Ваня написал простое число $p$. Прибавив к $p$ его последнюю цифру, увеличенную на $1$, Петя получил новое число $q$. Известно, что если оно окажется простым, Петя получит приз и сможет повторить описанную процедуру еще раз и, возможно, снова получит приз и т. д. Какое наименьшее трехзначное простое число должен написать Ваня, чтобы Петя смог получить максимальное число призов.
Ответ:
Решение: