Назовём натуральное число счастливым, если все его цифры можно разбить на две группы, сумма цифр в каждой из которых одинакова. Примеры: 38221 ($3+2+2+1=8$), 5678 ($5+8=6+7$). Назовем число суперсчастливым, если оно счастливое и следующее за ним целое число тоже счастливое. Найдите количество суперсчастливых чисел на отрезке $[400;2400]$.
Ответ:
Решение:
Пусть $S(n)$ означает сумму цифр натурального числа $n$. Найти наибольшее 100-значное натуральное число $n$, удовлетворяющее условию: для всех натуральных $m$ ($1\leqslant m\leqslant n$) справедливы равенства $S(mn)=S(n)$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество шестизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые две последовательные степени числа десять равна 1234.
Ответ:
Решение:
Подряд в строчку выписана 2018 цифр. Известно, что в этой строчке каждое двузначное число, записываемое двумя соседними цифрами (в том порядке, в каком они записаны), делится на 17 или на 23. В этой строчке последняя цифра 5. Какая цифра в строчке первая? Дать обоснованный ответ.
Ответ:
Решение:
У каждого из девяти натуральных чисел $n$, $2n$, $3n$, $\ldots$, $9n$ выписали первую слева цифру. Может ли при некотором натуральном $n$ среди девяти выписанных цифр быть не более четырёх различных?
Ответ:
Решение:
Пользуясь равенством $\lg 11=1{,}0413\ldots$, найдите наименьшее число $n\gt 1$, для которого среди $n$-значных чисел нет ни одного, равного некоторой натуральной степени числа 11.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число, все цифры в десятичной записи которого различны и которое уменьшается в 5 раз, если зачеркнуть первую цифру.
Ответ:
Решение:
Существует ли такое натуральное число $n$, что числа $n$, $n^2$, $n^3$ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?
Ответ:
Решение:
К каждому члену некоторой конечной последовательности подряд идущих натуральных чисел приписали справа по две цифры и получили последовательность квадратов подряд идущих натуральных чисел. Какое наибольшее число членов могла иметь эта последовательность?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число «удивительным», если все его цифры попарно различны и их сумма равна $18$. Найдите сумму удивительнх чисел, не превосходящих $999$.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число «занимательным», если все его цифры попарно различны и их сумма равна $18$. Найдите сумму занимательнх чисел, не превосходящих $980$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число, оканчивающееся на цифру 2, которое удваивается, если переставить эту цифру в начало.
Ответ:
Решение:
В множество $A$ входят все такие натуральные числа, которые при делении на сумму своих цифр дают целое число, кратное 9 (не обязательно одно и то же для всех этих чисел). Найдите все трехзначные числа, входящие в множество $A$ и, расположив их в порядке возрастания, найдите сумму первого из них, шестого и последнего.
Ответ:
Решение:
Обозначим через $s(n)$ число цифр в десятичной записи натурального числа $n$. Найдите сумму $s(2^{2023})+s(5^{2023})$.
Ответ:
Решение:
Загадано 2022-значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?
Ответ:
Решение:
Вовочка складывает числа в столбик следующим образом: он не запоминает десятки, а под каждой парой цифр в одинаковых разрядах пишет их сумму, даже если она двузначна. Например, для суммы $248+208$ он получил бы значение 4416. Найдите наименьшую возможную разность между ответом Вовочки и верным ответом.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие трёхзначные числа $\overline{LOM}$, состоящие из различных цифр $L$, $O$ и $M$, для которых выполняется равенство:\[\overline{LOM}=(L+O+M)^2+L+O+M.\]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Целые положительные шестизначные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что если к сумме цифр числа $a_1$ прибавить сумму цифр числа $a_2$, то получится 36. Найти наибольшее возможное при этих условиях значение $a_1\cdot a_2$.
Ответ:
Решение: