Докажите, что если при $n\in\mathbb{N}$ число $2+2\sqrt{12n^2+1}$ целое, то оно — точный квадрат.
Ответ:
Решение:
Существует ли бесконечное множество $S$, состоящее из квадратов натуральных чисел, такое, что для любых двух различных $x$ и $y$ из $S$ найдётся $z$ из $S$ (возможно, совпадающее с $x$ или $y$), для которого $x+y+z$ — квадрат натурального числа?
Ответ:
Решение:
Найдите все целочисленные решения неравенства \[ x^2y^2+y^2z^2+x^2+z^2-38(xy+z)-40(yz+x)+4xyz+761\leqslant 0. \]
Ответ:
Решение:
Какую наименьшую сумму могут иметь семь последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $1234567$?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $N$ со следующим свойством: если к числу $N$ справа приписать число 6125, то полученное число будет делиться на исходное число $N$?
Ответ:
Решение:
Сумма пяти подряд идущих двузначных чисел является полным квадратом. Найдите все возможные значения суммы исходных чисел.
Ответ:
Решение:
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, $2025$ год — замечательный, поскольку $2025$ делится на $20+25=45$. Назовите ближайший следующий замечательный год?
Ответ:
Решение:
Десятичная запись натурального числа $n$ содержит шестьдесят три цифры. Среди этих цифр есть двойки, тройки и четвёрки. Других цифр нет. Число двоек на $22$ больше числа четвёрок. Найти остаток от деления $n$ на $9$.
Ответ:
Решение:
Натуральное $59$-значное число $A$ записывается только цифрами $3$, $4$ и $5$. При этом пятёрок на $8$ больше, чем троек. Найдите остаток от деления числа $A$ на $9$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите натуральное число, которое ровно в $25$ раз меньше, чем сумма всех натуральных чисел, меньших его и делящихся на $31$.
Ответ:
Решение:
Найдите число $\overline{ab}$, если известно, что число \[ \underbrace{2011\ldots2011}_{101\text{ раз}}a2011b\underbrace{2011\ldots2011}_{101\text{ раз}} \] делится на $99$.
Ответ:
Решение:
Какую наименьшую сумму могут иметь девять последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $1234567$?
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $a$ такое, что выражение $a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64)$ делится на $10^7$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $a$ такое, что выражение $a(a+12)(a+24)(a+36)(a+48)$ делится на $10^6$.
Ответ:
Решение:
Вася строит башни из кубиков. Когда он построил $N$ башен по 22 кубика, у него осталось 3 кубика. После чего он из всех своих кубиков построил $N-1$ башню так, что во всех башнях кубиков оказалось поровну. Какое наибольшее количество кубиков могло быть у Васи, если известно, что их меньше 300?
Ответ:
Решение:
Какую наименьшую сумму могут иметь $11$ последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на $20\,222\,023$?
Ответ:
Решение:
На $23$ карточках записаны цифры. Из этих карточек сначала сложили $23$-значное число $A$, а затем, переложив карточки в другом порядке — $23$-значное число $B$. Оказалось, что разность $(A-B)$ — это $22$-значное число, составленное из одинаковых цифр. На какую цифру оканчивается число $B$, если число $A$ оканчивается на цифру $5$?
Ответ:
Решение:
На доске написано число $23\,456\,789$. Петя заменил в нём $5$ цифр: $4$ последние цифры и ещё какую-то. В итоге получилось восьмизначное число, делящееся на $48$, притом минимально возможное. Что это за число?
Ответ:
Решение: