Найдите наибольшее натуральное число $n$, при котором $(7!)!$ делится на $n!$. (Здесь $k!$ означает произведение $1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot k$.)
Ответ:
Решение:
На длинной ленте написаны цифры $201520152015\ldots$ Вася вырезал ножницами два куска ленты и составил из них положительное число, которое делится на 45. Приведите пример таких кусков и запишите число, составленное из них.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ называется «хорошим», если после приписывания его справа к любому натуральному числу получается число, делящееся на $n$. Запишите десять «хороших» чисел, которые меньше, чем 1000. (Достаточно привести ответ.)
Ответ:
Решение:
Сумма двух целых чисел равна $S$. Маша умножила левое число на целое число $a$, правое — на целое число $b$, сложила эти произведения и обнаружила, что полученная сумма делится на $S$. Алёша, наоборот, левое число умножил на $b$, а правое — на $a$. Докажите, что и у него аналогичная сумма разделится на $S$.
Ответ:
Решение:
Вчера Никита купил несколько ручек: чёрные — по 9 рублей за штуку и синие — по 4 рубля за штуку. Зайдя сегодня в тот же магазин, он обнаружил, что цены на ручки изменились: чёрные стали стоить 4 рубля за штуку, а синие — 9 рублей. Увидев такое, Никита сказал с досадой: «Покупай я те же ручки сегодня, сэкономил бы 49 рублей». Не ошибается ли он?
Ответ:
Решение:
Рыцарский турнир длится ровно 7 дней. К концу четвёртого дня сэр Ланселот не успел сразиться лишь с одной четвертью от общего числа участников турнира. А сэр Тристан к этому времени сразился ровно с одной седьмой из тех рыцарей, с кем успел сразиться сэр Ланселот. Какое минимальное количество рыцарей могло участвовать в турнире?
Ответ:
Решение:
Числа от 1 до 50 написаны на карточках. Можно ли разложить эти карточки в 11 мешков (чтобы в каждый мешок попала хотя бы одна карточка) так, чтобы в каждом мешке произведение чисел на карточках делилось на 9?
Ответ:
Решение:
Число 890 обладает таким свойством: изменив любую его цифру на 1 (увеличив или уменьшив), можно получить число, кратное 11. Найдите наименьшее трехзначное число, обладающее таким же свойством.
Ответ:
Решение:
На уроке физкультуры весь класс выстроился по росту (у всех детей разный рост). Дима заметил, что людей, которые выше него, в четыре раза больше, чем людей, которые ниже него. А Лёня заметил, что людей, которые выше него, в три раза меньше, чем людей, которые ниже него. Сколько всего человек в классе, если известно, что их не больше 30?
Ответ:
Решение:
На доске записано натуральное число. Николай заметил, что может двумя способами приписать к нему цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 9. Сколькими способами он может приписать к данному числу цифру справа так, чтобы полученное число делилось на 3?
Ответ:
Решение:
У Веры есть набор различных по массе гирь, каждая из которых весит целое число грамм. Известно, что самая лёгкая гиря набора весит в 71 раз меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Также известно, что две самые лёгкие гири набора вместе весят в 34 раза меньше, чем все остальные гири вместе взятые. Какое наименьшее число грамм может весить самая лёгкая гиря?
Ответ:
Решение:
Вася заменил в двух числах одинаковые цифры одинаковыми буквами, разные — разными. Получилось, что число ЗАРАЗА делится на 4, а АЛМАЗ делится на 28. Найдите две последние цифры суммы $\text{ЗАРАЗА}+\text{АЛМАЗ}$.
Ответ:
Решение:
На доске написано некоторое двузначное число. Незнайка заявил, что оно делится на 3, 4, 5, 9, 10, 15, 18, 30. Знайка, услышав это, огорчил Незнайку тем, что тот ошибся ровно 4 раза. Какое число могло быть написано на доске? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a$ делится на $b+1$ и 43 делится на $a+b$.
1. Укажите любое возможное значение $a$.
2. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты.
1. Укажите любое возможное значение $a$.
2. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Ребята пошли в лес за грибами. Таня нашла 5 грибов, Илья нашёл 50 грибов, а все остальные ребята — по 13 грибов. Оказалось, что дети могут поделиться друг с другом грибами так, что у всех станет грибов поровну. Сколько детей ходило в лес за грибами?
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 20162016 так, чтобы результат делился на 2016 (ничего не вычёркивать нельзя)? Напоминаем, что надо не только привести пример, но и объяснить, почему меньшим количеством цифр обойтись нельзя.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Таблица $70\times70$ заполнена числами от 1 до 4900:
- в первой строке слева направо выписаны числа от 1 до 70 в порядке возрастания;
- во второй строке точно так же выписаны числа от 71 до 140;
- и т. д.;
- в последней строке слева направо выписаны числа от 4831 до 4900.
Ответ:
Решение:
Петя показал Васе 37 внешне одинаковых карточек, выложенных в ряд. Он сказал, что на закрытых сторонах карточек записаны все числа от 1 до 37 (каждое по одному разу) так, что число на любой карточке начиная со второй является делителем суммы чисел, написанных на всех предшествующих карточках. Затем Петя показал Васе, что на первой карточке написано число 37, а на второй — число 1. Вася сказал, что он тогда знает, какое число написано на третьей карточке. Какое?
Ответ:
Решение:
Вася вписал в клетки таблицы $4\times18$ натуральные числа от 1 до 72 в некотором одному ему известном порядке. Затем для каждого из восемнадцати столбцов он перемножил стоящие в нём четыре числа и вычислил сумму цифр полученного произведения. Могли ли все восемнадцать сумм оказаться одинаковыми?
Ответ:
Решение: