Число в семеричной системе счисления является трёхзначным. В системе счисления с основанием 11 оно записывается теми же тремя цифрами, но в обратном порядке. Какова его запись в десятичной системе счисления? Найдите все возможные значения.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число «примечательным», если все его цифры попарно различны и их сумма равна 18. Найдите сумму примечательных чисел, не превосходящих 950.
Ответ:
Решение:
Подряд выписали квадраты чисел от $1$ до некоторого натурального числа $N$: $1491625\ldots N^2$, так, что получилось $1428$-значное число. Найдите $N$.
Ответ:
Решение:
Четырёхзначное число $X$ не кратно $10$. Сумма числа $X$ и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равна $N$. Оказалось, что число $N$ делится на $100$. Найдите $N$.
Ответ:
Решение:
В прошлом году Миша купил смартфон, который стоил целое четырёхзначное число рублей. Зайдя в магазин в этом году, он заметил, что цена смартфона выросла на $20\%$ и при этом состоит из тех же цифр, но в обратном порядке. Какую сумму Миша потратил на смартфон?
Ответ:
Решение:
Существует ли число, в десятичной записи квадрата которого имеется последовательность цифр «$2018$»?
Ответ:
Решение:
Вычислив число $8^{2021}$, подсчитали сумму цифр в этом и записали полученный результат. Затем в новом записанном числе подсчитали сумму цифр и снова записали результат. Эти действия повторяли до тех пор, пока не получили однозначное число. Найдите это число.
Ответ:
Решение:
Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например, $123456\to 612345$), и полученное шестизначное число вычли из исходного числа. Какие числа из промежутка $[618222;618252]$ могли получиться в результате вычитания?
Ответ:
Решение:
Последнюю цифру шестизначного числа переставили в начало (например, $456789\to 945678$), и полученное шестизначное число прибавили к исходному числу. Какие числа из промежутка $[891870;891899]$ могли получиться в результате сложения?
Ответ:
Решение:
Обозначим через $S(k)$ сумму цифр числа $k$. Пусть $n$ — наименьшее натуральное число такое, что $S(n)+S(n+61)=4000$. В ответ запишите пятизначное число, первые две цифры которого совпадают с первыми двумя цифрами числа $n+61$, а последние три — с последними тремя цифрами числа $n+61$. Например, если $n+61=1234567890$, то в ответ нужно записать число $12890$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество шестизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна $12345$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12345.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму всевозможных пятизначных чисел $A$ таких, что сумма остатков от деления чисел $3A$, $4A$, $5A$ на некоторую степень числа $10$ равна $12\,364$.
Ответ:
Решение:
Вера написала на доске восьмизначное число. Надя переставила две первые его цифры в конец и написала полученное восьмизначное число на доске (например, если Вера написала 12345678, то Надя написала 34567812). Из числа, написанного Верой, Люба вычла число, написанное Надей. Какие числа из отрезка $[20004000; 20004400]$ могли получиться у Любы? В ответе запишите сумму всех таких чисел.
Ответ:
Решение:
Целые положительные шестизначные числа $a_1$ и $a_2$ таковы, что если к сумме цифр числа $a_1$ прибавить сумму цифр числа $a_2$, то получится 36. Найти наибольшее возможное при этих условиях значение $a_1\cdot a_2$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все такие трёхзначные числа $\overline{LOM}$, состоящие из различных цифр $L$, $O$ и $M$, для которых выполняется равенство:\[\overline{LOM}=(L+O+M)^2+L+O+M.\]
Ответ:
Решение:
Вовочка складывает числа в столбик следующим образом: он не запоминает десятки, а под каждой парой цифр в одинаковых разрядах пишет их сумму, даже если она двузначна. Например, для суммы $248+208$ он получил бы значение 4416. Найдите наименьшую возможную разность между ответом Вовочки и верным ответом.
Ответ:
Решение:
Загадано 2022-значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?
Ответ:
Решение:
Обозначим через $s(n)$ число цифр в десятичной записи натурального числа $n$. Найдите сумму $s(2^{2023})+s(5^{2023})$.
Ответ:
Решение: