На стороне $BC$ треугольника $ABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $BM=MN=NC$. Прямая, параллельная $AN$ и проходящая через точку $M$, пересекает продолжение стороны $AC$ за точку $A$ в такой точке $D$, что $AB=CD$. Найдите $AB$, если $BC=6$, $\cos(2\angle CDM)=-\dfrac{3}{4}$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена на стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ так, что $CM:MD=1:2$. На отрезке $AM$ выбрана точка $N$ так, что $AN:NM=3:1$. Прямая $DN$ пересекает отрезок $MB$ в точке $P$. Найти отношение $MP:PB$.
Ответ:
Решение:
Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая сторону $BC$ в точке $D$ и делящая площадь треугольника в отношении $1:7$. Другая прямая, параллельная $AD$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно и делит площадь треугольника $ABC$ пополам. В каком отношении точки $M$ и $N$ делят стороны $AB$ и $BC$?
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Описанная окружность треугольника $AOC$ вторично пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$. Оказалось, что прямая $EF$ делит площадь треугольника $ABC$ пополам. Найдите угол $B$.
Ответ:
Решение:
Найдите промежуток изменения коэффициента подобия треугольников с длинами сторон $x$, $y$, $z$ и $y$, $z$, $p$. В ответе укажите ближайшие друг к другу целые числа, между которыми находится найденный промежуток.
Ответ:
Решение:
Через точку $O$ пересечения биссектрис треугольника $ABC$, провели прямую $KM$ параллельно стороне $AC$ ($K$ лежит на $AB$, $M$ лежит на $BC$). Найдите длину отрезка $KM$, если площадь четырёхугольника $AKMC$ составляет $11/36$ площади треугольника $ABC$, а разность периметров треугольников $ABC$ и $KBM$ равна 18.
Ответ:
Решение:
Через середину гипотенузы $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ проведена прямая, пересекающая катет $BC$ в точке $D$, а продолжение катета $AB$ за точку $A$ — в точке $E$. Найти площадь треугольника $ABC$, если $CD=1$, $AE=2$, $\angle CAB=\arccos\frac35$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B=60^\circ$, а точки $D$, $E$ и $F$ лежат на сторонах $CA$, $AB$ и $BC$ соответственно, причём $BE=ED=DF=FB=10$. Отрезки $AF$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Найдите длину $XA$, если $XF=4$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AD$ и $BC$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ выбраны точки $F$ и $E$ соответственно таким образом, что $AF/FD=BE/EC=AB/CD$. Продолжение отрезка $EF$ за точку $F$ пересекает прямую $AB$ в точке $P$, а прямую $CD$ — в точке $Q$. Докажите, что $\angle BPE=\angle CQE$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $O$, что $\angle ABO=\angle CAO$, $\angle BAO=\angle BCO$, $\angle BOC=90^\circ$. Найдите отношение $AC:OC$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $1$, угол $ABC$ равен $2\operatorname{arctg}\frac{1}{2}$. Точка $D$ лежит на стороне $BC$ так, что площадь треугольника $ABC$ вчетверо больше площади треугольника $ADC$. Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ и радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$, у которого высота, проведённая к стороне $BC$, в два раза меньше этой стороны, а высота, проведённая к стороне $AC$, в $32$ раза меньше этой стороны. Найдите синус угла $C$.
Ответ:
Решение:
Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $P$. Известно, что $AP=1$, $BP:PC=2$, а высота $BH$ треугольника $ABC$ равна $0{,}5$. Найдите наименьшее возможное значение радиуса окружности, описанной около треугольника $ACP$.
Ответ:
Решение:
Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 6, если синус одного его угла равен косинусу другого.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны соответственно 3 и 1. Биссектриса $BD$ равна $\sqrt2$. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
Окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ пересекаются внешним образом в точках $A$ и $B$ (то есть точки $O_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны от прямой $AB$). Известно, что $\angle AO_1B=\alpha$, $\angle AO_2B=\beta$, $O_1O_2=a$. Найдите радиусы окружностей.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ равна $2$, угол $ABM$ равен $\operatorname{arctg}\frac{2}{3}$, угол $CBM$ равен $\operatorname{arctg}\frac{1}{5}$. Найти стороны $AB$, $BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отмечена точка $T$ такая, что $\angle BAC=2\angle BTC$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если известно, что $AB=AC$, $BT=70$, $AT=37$.
Ответ:
Решение:
Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно, а $X$ — точка пересечения перпендикуляра к $AB$, проходящего через точку $A$, с перпендикуляром к $BC$, проходящим через точку $Q$. Найдите длину отрезка $BC$, если известно, что $PX=29$, а угол $BAC$ острый и $\sin\angle BAC=\dfrac18$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AC$ остроугольного треугольника $ABC$ вовне построены два равных прямоугольника $AMNB$ и $APQC$. Найти расстояние между вершинами $N$ и $Q$ прямоугольников, если длины сторон $AB$ и $AC$ равны 3 и 4 соответственно, а угол при вершине $A$ треугольника равен $30^\circ$.
Ответ:
Решение: