Точку $O$, лежащую внутри треугольника $ABC$, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов $AOB$, $AOC$ и $BOC$ меньше, чем
а) $\dfrac{10\pi^2}{27}$;
б) $\dfrac{2\pi^2}{9}$.
а) $\dfrac{10\pi^2}{27}$;
б) $\dfrac{2\pi^2}{9}$.
Ответ:
Решение:
Дан числовой набор $x_1,\ldots,x_n$. Рассмотрим функцию $$d(t)=\dfrac{\min\limits_{i=1,\ldots,n}|x_i-t|+\max\limits_{i=1,\ldots,n}|x_i-t|}{2}.$$
а) Верно ли, что функция $d(t)$ принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел $x_1,\ldots,x_n$?
б) Сравните значения $d(c)$ и $d(m)$, где $$c=\dfrac{\min\limits_{i=1,\ldots,n}x_i+\max\limits_{i=1,\ldots,n}x_i}{2},$$ а $m$ — его медиана.
а) Верно ли, что функция $d(t)$ принимает наименьшее значение в единственной точке, каков бы ни был набор чисел $x_1,\ldots,x_n$?
б) Сравните значения $d(c)$ и $d(m)$, где $$c=\dfrac{\min\limits_{i=1,\ldots,n}x_i+\max\limits_{i=1,\ldots,n}x_i}{2},$$ а $m$ — его медиана.
Ответ:
Решение:
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 3.
а) Рассеянный Учёный вычислил дисперсию длин сторон этого треугольника и нашел, что она равняется 2. Не ошибся ли он в расчетах?
б) Какое наименьшее стандартное отклонение сторон может иметь такой прямоугольный треугольник? Какие у него при этом катеты?
а) Рассеянный Учёный вычислил дисперсию длин сторон этого треугольника и нашел, что она равняется 2. Не ошибся ли он в расчетах?
б) Какое наименьшее стандартное отклонение сторон может иметь такой прямоугольный треугольник? Какие у него при этом катеты?
Ответ:
Решение:
В один прекрасный день некая крупная компания выпустила на рынок ценную бумагу. На следующий день эта бумага подорожала на 1 % по сравнению с ценой, которая была накануне. Через день на 2 % и так далее: на 10-й день бумага подорожала на 10 %. На сколько в среднем процентов дорожала эта бумага ежедневно? Результат округлите до сотых долей процента.
Ответ:
Решение:
При въезде автомобиля на платный участок дороги компьютерная система с помощью камеры определяет высоту кабины автомобиля, проходящего через пункт оплаты. Если высота меньше граничного значения $h_0$, то автомобиль считается легковым, в противном случае система определяет его как грузовой. От этого зависит плата за проезд по участку.
Иногда случаются ошибки: высокий легковой автомобиль система может ошибочно принять за грузовой, а небольшой грузовик — за легковушку.
На диаграммах показаны распределения высот легковых и грузовых автомобилей. Данные получены по представительной выборке и сгруппированы в интервалы шагом 5 см. На горизонтальной оси отмечены интервалы, на вертикальной — частоты значений из соответствующих интервалов. Определите граничное значение высоты $h_0$, при котором вероятность ошибки будет наименьшей.
Иногда случаются ошибки: высокий легковой автомобиль система может ошибочно принять за грузовой, а небольшой грузовик — за легковушку.
На диаграммах показаны распределения высот легковых и грузовых автомобилей. Данные получены по представительной выборке и сгруппированы в интервалы шагом 5 см. На горизонтальной оси отмечены интервалы, на вертикальной — частоты значений из соответствующих интервалов. Определите граничное значение высоты $h_0$, при котором вероятность ошибки будет наименьшей.
Ответ:
Решение:
В классе меньше, чем 35 учеников. Средний вес всех учеников равен 53,5 кг. Средний вес девочек 47 кг, а средний вес мальчиков — 60 кг. Может ли оказаться так, что самый легкий ученик в этом классе — мальчик, а самый тяжелый — девочка? Приведите пример, либо объясните, почему это невозможно.
Ответ:
Решение:
Рассеянный Ученый пишет статью о девяти горных вершинах Анчурии для Большой Анчурийской энциклопедии. Он уже собрал некоторые данные и занес их в таблицу.
Табл. Горные вершины Анчурии
Ученый хотел составить диаграмму высот вершин, но по рассеянности несколько раз ошибся. В результате у него четыре диаграммы, одна из них правильная, но он совершенно запутался и не знает какая. Найдите высоту горы Этвуд.
Табл. Горные вершины Анчурии
| № | Горная вершина | № | Горная вершина | № | Горная вершина |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Пик Оливарры | 4 | Этвуд | 7 | Пик Доусона |
| 2 | Пик Гудвина | 5 | Пик Мирафлореса | 8 | Блайт-Вельзевул |
| 3 | Кьоу | 6 | Монте-Паса | 9 | Каррера |
| Макс. высота | 2750 м | Мин. высота | 720 м | Средняя высота | 1811 м |
| Медиана высот | 1950 м |
Ответ:
Решение:
У студентов одного курса факультета инновационных исследований в среднем 17,55 однокурсниц. Сколько на этом курсе девушек?
Ответ:
Решение:
Рассеянный Ученый пишет статью о девяти горных вершинах Анчурии для Большой Анчурийской энциклопедии. Он уже собрал некоторые данные и занес их в таблицу.
Табл. Горные вершины Анчурии
Ученый хотел составить диаграмму высот вершин, но по рассеянности несколько раз ошибся. В результате у него четыре диаграммы, одна из них правильная, но он совершенно запутался и не знает какая. Найдите высоту пика Мирафлореса.
Табл. Горные вершины Анчурии
| № | Горная вершина | № | Горная вершина | № | Горная вершина |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Пик Оливарры | 4 | Этвуд | 7 | Пик Доусона |
| 2 | Пик Гудвина | 5 | Пик Мирафлореса | 8 | Блайт-Вельзевул |
| 3 | Кьоу | 6 | Монте-Паса | 9 | Каррера |
| Макс. высота | 2950 м | Мин. высота | 1060 м | Средняя высота | 1968 м |
| Медиана высот | 1465 м |
Ответ:
Решение:
У студентов одного курса факультета инновационных исследований в среднем 22,425 однокурсниц. Сколько на этом курсе девушек?
Ответ:
Решение:
В каждом из пяти городов Анчурии имеется метрополитен. На рисунке показаны схемы линий метро в этих пяти городах. Некоторые сведения о метрополитенах Анчурии даны в таблице. Определите, к какому городу относится каждая схема.
Метрополитены в городах Анчурии
Метрополитены в городах Анчурии
| Город | Общая протяженность линий, км | Количество станций | Пассажиропоток в день, тыс. чел. | Средняя длина перегона между соседними станциями, км |
|---|---|---|---|---|
| Сан-Матео | 39 | 20 | 100 | 1,5 |
| Коралио | 15 | 9 | 22 | 1,5 |
| Аласан | 16 | 9 | 20 | 2 |
| Альфоран | 18 | 9 | 30 | 2 |
| Солитас | 14 | 8 | 25 | 2 |
Ответ:
Решение:
Гистограмма (рис. 1) показывает распределение вагонов пассажирского состава по количеству пассажиров (в 4 % вагонов пассажиров от 10 до 19, в 6 % вагонов — от 20 до 29 и т.д.). Если в вагоне 60 пассажиров или больше, то назовем такой вагон переполненным.
Распределение вагонов по числу пассажиров
а) Найдите долю переполненных вагонов.
б) Найдите наименьшую возможную долю пассажиров, едущих в переполненных вагонах.
в) Может ли доля пассажиров, едущих в переполненных вагонах, быть меньше доли переполненных вагонов?
Распределение вагонов по числу пассажиров
а) Найдите долю переполненных вагонов.
б) Найдите наименьшую возможную долю пассажиров, едущих в переполненных вагонах.
в) Может ли доля пассажиров, едущих в переполненных вагонах, быть меньше доли переполненных вагонов?
Ответ:
Решение:
В понедельник 8 ноября Сергей разместил на своей странице в соцсети фотографию своего хомяка. Диаграмма показывает, сколько лайков это фото получило за 10 дней, но подписи на вертикальной оси отсутствуют. Известно, что в воскресенье 14 ноября лайков было на девять больше, чем накануне. Среднее количество лайков за все дни оказалось 20. Сколько лайков получило фото во вторник 16 ноября?
Ответ:
Решение:
Приведите пример числового набора, который удовлетворяет трём следующим условиям.
1) В наборе шесть чисел. 2) Среднее арифметическое набора меньше, чем любая его медиана. 3) Из этого набора можно удалить число так, что среднее арифметическое оставшихся чисел станет больше медианы.
Примечание. Медианой числового набора, в котором чётное количество чисел, является любое число из отрезка, заключённого между двумя центральными числами. Например, медианой набора 1, 2, 3, 4 является любое число из отрезка от 2 до 3.
1) В наборе шесть чисел. 2) Среднее арифметическое набора меньше, чем любая его медиана. 3) Из этого набора можно удалить число так, что среднее арифметическое оставшихся чисел станет больше медианы.
Примечание. Медианой числового набора, в котором чётное количество чисел, является любое число из отрезка, заключённого между двумя центральными числами. Например, медианой набора 1, 2, 3, 4 является любое число из отрезка от 2 до 3.
Ответ:
Решение:
В понедельник 15 ноября Сергей разместил на своей странице в соцсети фотографию своего кота. Диаграмма показывает, сколько лайков это фото получило за 10 дней, но подписи на вертикальной оси отсутствуют. Известно, что в четверг 18 ноября лайков было на четыре меньше, чем накануне. Среднее количество лайков за все дни оказалось 19. Сколько лайков получило фото в воскресенье 21 ноября?
Ответ:
Решение:
Приведите пример числового набора, который удовлетворяет трём следующим условиям.
1) В наборе пять чисел. 2) Среднее арифметическое набора больше, чем медиана. 3) Из этого набора можно удалить число так, что среднее арифметическое оставшихся чисел станет меньше любой медианы оставшихся чисел.
Примечание. Медианой числового набора, в котором чётное количество чисел, является любое число из отрезка, заключённого между двумя центральными числами. Например, медианой набора 1, 2, 3, 4 является любое число из отрезка от 2 до 3.
1) В наборе пять чисел. 2) Среднее арифметическое набора больше, чем медиана. 3) Из этого набора можно удалить число так, что среднее арифметическое оставшихся чисел станет меньше любой медианы оставшихся чисел.
Примечание. Медианой числового набора, в котором чётное количество чисел, является любое число из отрезка, заключённого между двумя центральными числами. Например, медианой набора 1, 2, 3, 4 является любое число из отрезка от 2 до 3.
Ответ:
Решение:
При испытании нового учебника по математике в эксперименте приняли участие примерно одинаковые по численности параллели седьмых классов из двух школ. В каждой школе часть семиклассников училась по экспериментальному учебнику, а часть — по обычному старому учебнику. В конце учебного года был проведен итоговый тест, который показал, насколько хорошо семиклассники освоили учебный материал.
Результаты теста в 1-й школе
Результаты теста во 2-й школе
В обеих школах доля тех, кто выполнил тест хорошо, оказалась выше в группе тех, кто учился по экспериментальному учебнику. Поэтому был сделан вывод, что новый учебник обеспечивает более высокое качество образования.
Только Рассеянный Учёный выступил против нового учебника и ко всеобщему удивлению заявил, что те, кто учился по новому учебнику, сдали тест в среднем хуже, чем те, кто учился по старому.
Кто прав?
Результаты теста в 1-й школе
| Учились по экспериментальному учебнику | Учились по обычному учебнику | |
|---|---|---|
| Выполнили тест хорошо | 30 % | 15 % |
| Выполнили тест плохо | 35 % | 20 % |
| Доля тех, кто выполнил хорошо | $0{,}46$ | $0{,}43$ |
| Учились по экспериментальному учебнику | Учились по обычному учебнику | |
|---|---|---|
| Выполнили тест хорошо | 20 % | 45 % |
| Выполнили тест плохо | 10 % | 25 % |
| Доля тех, кто выполнил тест хорошо | $0{,}67$ | $0{,}64$ |
Только Рассеянный Учёный выступил против нового учебника и ко всеобщему удивлению заявил, что те, кто учился по новому учебнику, сдали тест в среднем хуже, чем те, кто учился по старому.
Кто прав?
Ответ:
Решение:
На хлебозаводе дозирующий автомат отмеряет порции теста массой 400 г. Для проверки оборудования инженер взвесил 10 случайных порций, отмеренных автоматом. Результаты он записал в блокнот, но некоторые цифры стёрлись, и их невозможно прочитать. Мы перенесли в таблицу всё, что удалось восстановить, а нечитаемые цифры заменили знаком вопроса.
Принято правило: если стандартное отклонение сделанных измерений превосходит 10 % номинальной массы порции, то дозирующий автомат требует ремонта. Определите, требует ли ремонта данный автомат.
| Номер порции | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Средняя масса |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Масса, г | 366 | 426 | 38? | 438 | 41? | 39? | 40? | 377 | 374 | 423 | 401 |
Ответ:
Решение:
На хлебозаводе дозирующий автомат отмеряет порции теста массой 400 г. Для проверки оборудования инженер взвесил 10 случайных порций, отмеренных автоматом. Результаты он записал в блокнот, но некоторые цифры стёрлись, и их невозможно прочитать. Мы перенесли в таблицу всё, что удалось восстановить, а нечитаемые цифры заменили знаком вопроса.
Принято правило: если стандартное отклонение сделанных измерений превосходит 10 % номинальной массы порции, то дозирующий автомат требует ремонта. Определите, требует ли ремонта данный автомат.
| Номер порции | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Средняя масса |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Масса, г | 367 | 364 | 421 | 38? | 438 | 40? | 39? | 378 | 41? | 422 | 399 |
Ответ:
Решение:
В числовом наборе медиана равна 3, среднее арифметическое равно 5, а единственная мода набора равна 6. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе, обладающем указанными свойствами?
Модой называется число, которое встречается в наборе больше раз, чем любое другое.
Модой называется число, которое встречается в наборе больше раз, чем любое другое.
Ответ:
Решение: