Правильный треугольник $T$ со стороной 111 разбит прямыми, параллельными его сторонам, на правильные треугольники со стороной 1. Все вершины этих треугольников, кроме центра треугольника $T$, отмечены. Назовем множество из нескольких отмеченных точек линейным, если все эти точки лежат на одной прямой, параллельной стороне $T$. Сколько существует способов разбить все отмеченные точки на 111 линейных множеств? (Способы, отличающиеся порядком множеств, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
В городе N прошли 50 городских олимпиад по разным предметам, при этом в каждой из этих олимпиад участвовало ровно 30 школьников, но не было двух олимпиад с одним и тем же составом участников. Известно, что для любых 30 олимпиад найдется школьник, который участвовал во всех этих 30 олимпиадах. Докажите, что найдется школьник, который участвовал во всех 50 олимпиадах.
Ответ:
Решение:
В классе учится три человека, увлекающихся рисованием, четыре человека, увлекающихся шахматами, и пять человек, увлекающихся танцами (каждый ученик увлекается ровно одним занятием). Учитель хочет разбить всех детей по парам так, чтобы увлечения участников любой пары были различны. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ:
Решение:
У Вики есть 60 карточек с числами от 1 до 60. Она хочет разбить все карточки на пары так, чтобы во всех парах получался один и тот же модуль разности чисел. Сколько существует способов так сделать?
Ответ:
Решение:
В конкурсе участвовало несколько танцевальных пар. Каждый пожал руку всем остальным, кроме себя и своего партнера. Всего было сделано 20200 рукопожатий. Сколько было пар?
Ответ:
Решение:
В пиццерии в каждую пиццу обязательно кладут помидоры и моцареллу. При заказе пиццы надо выбрать одну или несколько начинок: ветчину, грибы, салями или курицу. Также надо выбрать размер пиццы — 25, 30, 35 или 40 сантиметров. Сколько вариантов пиццы можно заказать в пиццерии? Пиццы считаются разными, если они имеют разные размеры или различаются хотя бы одним видом начинки.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим двоичную последовательность, то есть последовательность нулей и единиц. Назовем $1,k-1$-словом фрагмент этой последовательности вида $1\underbrace{00\ldots0}_{k-1}$, за которым непосредственно следует единица или конец последовательности.
Пример. В последовательности $01000\underline{100}101\underline{100}$ ровно два $1, 2$-слова. Они подчеркнуты.
Докажите, что во всех бинарных последовательностях длины $n$, содержащих ровно $m$ единиц, общее количество $1,k-1$-слов равно $m\cdot C_{n-k}^{m-1}$ $(k\leqslant n)$.
Пример. В последовательности $01000\underline{100}101\underline{100}$ ровно два $1, 2$-слова. Они подчеркнуты.
Докажите, что во всех бинарных последовательностях длины $n$, содержащих ровно $m$ единиц, общее количество $1,k-1$-слов равно $m\cdot C_{n-k}^{m-1}$ $(k\leqslant n)$.
Ответ:
Решение:
На доске выписано $(n-1)n$ выражений: $x_1-x_2$, $x_1-x_3$, $\ldots$, $x_1-x_n$, $x_2-x_1$, $x_2-x_3$, $\ldots$, $x_2-x_n$, $\ldots$, $x_n-x_{n-1}$, где $n\geqslant 3$. Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо $(x_1-x_2)+(x_2-x_3)$ Лёша запишет $x_1-x_3$, а вместо $(x_1-x_2)+(x_2-x_1)$ он запишет $0$). Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?
Ответ:
Решение:
В «Драконьем покере» в колоде четыре масти. Туз приносит 1 очко, валет — 2 очка, двойка — $2^2$, тройка — $2^3$, …, десятка — $2^{10}=1024$ очка. Короли и дамы отсутствуют. Можно выбирать из колоды любое количество карт. Сколькими способами можно набрать 2018 очков?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами из натуральных чисел от $2\,002$ до $2\,025$ можно выбрать $6$ чисел так, чтобы среди выбранных чисел нашлось $3$ числа, дающих одинаковые остатки от деления на $8$?
Ответ:
Решение:
Спортсмен планирует свой режим тренировок на два месяца. В течение $60$ дней ему необходимо провести $9$ тренировок, причём после каждой тренировки, кроме последней, должны обязательно идти три дня перерыва, не включающие день тренировки. Сколькими способами он может составить себе расписание? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
Петя записал на доске множество $A$ всех натуральных чисел от $1$ до $100$. Затем Вася для всех непустых подмножеств множества $A$ нашёл средние арифметические входящих в них чисел, после чего сообщил Пете число $x$ — среднее арифметическое всех найденных средних арифметических. Затем Петя заменил в своём множестве $A$ число $10$ на число $1000$, а Вася пересчитал ту же величину $x$ для нового множества. На сколько увеличилось значение $x$?
Ответ:
Решение:
Рассматривают все непустые подмножества множества $T=\{1;2;\ldots;100\}$. Для каждого из них вычисляют среднее арифметическое всех чисел этого подмножества. Пусть $A$ — среднее арифметическое всех средних арифметических, вычисленных для подмножеств, содержащих число $40$, а $B$ — аналогичная величина для всех подмножеств, содержащих число $61$. Найдите сумму $A+B$.
Ответ:
Решение:
В научной лаборатории составляется план запуска решения задач на кластере. За $100$ дней требуется сделать $10$ запусков, а после каждого запуска, кроме последнего, кластер загружен только данной задачей в течение $7$ дней, включая день запуска. При последнем запуске требуется обработать результаты всех предыдущих запусков, на что требуется $8$ дней работы кластера, включая день последнего запуска. Сколькими способами сотрудники лаборатории могут выбрать дни запусков расчётов? Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение:
На доске выписано $10n$ последовательных натуральных чисел ($n\in\mathbb N$). Из них выбираются три попарно различных числа, среди которых ровно одно кратно 2 и ровно одно кратно 5. Известно, что можно составить ровно 5112 таких троек. Чему равно $n$?
Ответ:
Решение:
На доску выписаны попарно различные натуральные числа: часть из них чётны, но не делятся на $3$, остальные же делятся на $3$ и при этом нечётны. Оказалось, что выбрать тройку чисел из выписанных на доску так, чтобы среди них оказалось хотя бы одно чётное и хотя бы одно кратное $3$, можно $25$ способами. Сколько было выписано чисел?
Ответ:
Решение:
У фокусника есть набор из $12^2$ различных карточек. У каждой из карточек одна сторона красная, а другая — синяя; на каждой карточке с обеих сторон написано по одному натуральному числу от 1 до 12. Назовём карточку дублем, если числа на обеих сторонах карточки совпадают. Фокусник хочет вытащить две карточки так, чтобы среди них был хотя бы один дубль, и при этом никакое число не встречалось одновременно на обеих вытянутых карточках. Сколькими способами он может это сделать?
Ответ:
Решение:
Есть 207 различных карточек с числами $1, 2, 3, 2^2, 3^2, \ldots, 2^{103}, 3^{103}$ (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число встречается ровно один раз). Сколькими способами можно выбрать 3 карточки так, чтобы произведение чисел на выбранных карточках было квадратом целого числа, делящегося на 6?
Ответ:
Решение:
Имеются 5 тюленей, 4 котика и 3 моржа. Сколькими способами можно выбрать из них 5 животных так, чтобы среди выбранных присутствовали все три вида, но никакой вид не составлял абсолютного большинства?
Ответ:
Решение:
Сколькими способами можно погрузить семь разных изделий (3 по 2 тонны, 4 по 1 тонне) в два фургона грузоподъемностями 6 т и 5 т, если расположение грузов внутри фургона не важно?
Ответ:
Решение: