Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Про положительные числа $a$ и $b$ известно, что \[ a^2+ab=36 \quad\text{и}\quad b^2+ab=64. \] Найдите значение $a+b$.
Ответ:
Решение:
Найдите любое натуральное $x$ такое, что значение выражения $2^x+2^8+2^{11}$ является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?
Ответ:
Решение:
Для некоторых различных чисел $x$ и $y$ выполняются равенства \[ x^2-y^2=15(x-y)\quad\text{и}\quad x^3-y^3=225(x-y). \] При каком наибольшем $k$ может выполняться равенство $x^7-y^7=k(x^4-y^4)$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислить $\sqrt[3]{\frac{x}{2015+2016}}$, где $x$ — среднее гармоническое чисел \[ a=\dfrac{2016+2015}{2016^2+2016\cdot2015+2015^2}\quad\text{и}\quad b=\dfrac{2016-2015}{2016^2-2016\cdot2015+2015^2}. \] Средним гармоническим двух положительных чисел $a$ и $b$ называется число $c$ такое, что $\frac1c=\frac12\left(\frac1a+\frac1b\right)$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $k$ выражение $2017\cdot 2018\cdot 2019\cdot 2020+k$ является квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \frac{(x-y)(x^4-y^4)}{x^2-y^2}-\frac{2xy(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2} \] при $x=1{,}\underbrace{2\ldots2}_{46}$ и $y=-2{,}\underbrace{7\ldots7}_{45}8$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение $(3b-2)^3+12(4a-3)b-(4a+6b)^2$ и вычислить его значение при $\displaystyle a=\frac{3}{4}$ и $\displaystyle b=\frac{10}{3}$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение $18ab(3b-2a)-(2a-3b)^3+(4a+1)^2$ и вычислить его значение при $a=2$ и $\displaystyle b=\frac{1}{3}$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение $(2a-5)^3-5(6ab+30a-25)-(5a-3b)^2$ и вычислить его значение при $\displaystyle a=\frac{85}{8}$ и $\displaystyle b=\frac{2}{3}$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение $(5b+2a)^2+ab(9b-27a-20)-(3a-b)^3$ и вычислить его значение при $\displaystyle a=\frac{4}{27}$ и $b=-24$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение $3ab(9b+3a+10)-(3b+a)^3+(5a-3b)^2$ и вычислить его значение при $a=-3$ и $\displaystyle b=-\frac13$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение $$6ab(2b-a+6)-81b^2-(a-2b)^3+(2a-9b)^2-4a^2$$ и вычислить его значение при $a=3$ и $\displaystyle b=-\frac12$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение $$25b^2(5b-12a)+4ab(60a+1)-(2a+b)^2+(4a-5b)^3$$ и вычислить его значение при $a=-1/2$ и $b=1$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение $$(2a-7b)^2-4(2a^3+a^2-2)+(2a-2)(4a^2+4a+4)$$ и вычислить его значение при $a=1/4$ и $b=-1/7$.
Ответ:
Решение:
Упростить выражение: $81y^3+27xy(3y+x)+(5x-y)^2-3(3y+x)^3-25x^2$. Вычислить его значение при $x=-2$ и $y=-1$.
Ответ:
Решение: