Упростить выражение $(3b-2)^3+12(4a-3)b-(4a+6b)^2$ и вычислить его значение при $\displaystyle a=\frac{3}{4}$ и $\displaystyle b=\frac{10}{3}$.
Ответ:
Решение:
Вычислите \[ \frac{(x-y)(x^4-y^4)}{x^2-y^2}-\frac{2xy(x^3-y^3)}{x^2+xy+y^2} \] при $x=1{,}\underbrace{2\ldots2}_{46}$ и $y=-2{,}\underbrace{7\ldots7}_{45}8$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $k$ выражение $2017\cdot 2018\cdot 2019\cdot 2020+k$ является квадратом натурального числа?
Ответ:
Решение:
Вычислить $\sqrt[3]{\frac{x}{2015+2016}}$, где $x$ — среднее гармоническое чисел \[ a=\dfrac{2016+2015}{2016^2+2016\cdot2015+2015^2}\quad\text{и}\quad b=\dfrac{2016-2015}{2016^2-2016\cdot2015+2015^2}. \] Средним гармоническим двух положительных чисел $a$ и $b$ называется число $c$ такое, что $\frac1c=\frac12\left(\frac1a+\frac1b\right)$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Для некоторых различных чисел $x$ и $y$ выполняются равенства \[ x^2-y^2=15(x-y)\quad\text{и}\quad x^3-y^3=225(x-y). \] При каком наибольшем $k$ может выполняться равенство $x^7-y^7=k(x^4-y^4)$?
Ответ:
Решение:
Разность квадратов двух чисел равна 6, а если уменьшить каждое из этих чисел на 2, то разность их квадратов станет равна 18. Чему равна сумма этих чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите любое натуральное $x$ такое, что значение выражения $2^x+2^8+2^{11}$ является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Про положительные числа $a$ и $b$ известно, что \[ a^2+ab=36 \quad\text{и}\quad b^2+ab=64. \] Найдите значение $a+b$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Три числа таковы, что куб суммы любых двух из них равен сумме их кубов. Докажите, что среди этих чисел есть нуль.
Ответ:
Решение: