Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+5f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+5g(x)$ равно $-17$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Известно, что график функции $y=(f(x))^2$ касается графика функции $y=11g(x)$. Найдите все значения $A$ такие, что график функции $y=(g(x))^2$ касается графика функции $y=Af(x)$.
Ответ:
Решение:
Даны две линейные функции $f(x)$ и $g(x)$ такие, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ — параллельные прямые, не параллельные осям координат. Найдите наименьшее значение функции $(g(x))^2+2f(x)$, если наименьшее значение функции $(f(x))^2+2g(x)$ равно 5.
Ответ:
Решение:
Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает значения $13$, $13$ и $35$ соответственно. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$.
Ответ:
Решение:
Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $3x^2$, его наименьшее значение увеличилось на $9$, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на $9$. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $x^2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что для трёх последовательных натуральных значений аргумента квадратичная функция $f(x)$ принимает соответственно значения 6, 5 и 5. Найдите наименьшее возможное значение $f(x)$.
Ответ:
Решение:
Когда к квадратному трёхчлену $f(x)$ прибавили $x^2$, его наименьшее значение увеличилось на 1, а когда из него вычли $x^2$, его наименьшее значение уменьшилось на 3. А как изменится наименьшее значение $f(x)$, если к нему прибавить $2x^2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите коэффициент $q$.
Ответ:
Решение:
Известно, что параболы $y=x^2+bx+c$ и $y=-x^2+px+q$ пересекаются в точке $(1;1)$. Проекция вершины второй параболы на ось $x$ на $4$ правее, чем проекция вершины первой параболы на эту же ось. Одна из точек пересечения первой параболы с осью $x$ есть $(2;0)$. Найдите $q$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных $n$ таких, что функция \[ f(x)=\cos nx\cdot\sin\dfrac{10x}{n} \] имеет период $6\pi$?
Ответ:
Решение:
Найдите главный (наименьший положительный) период функции \[ y=\left(\arcsin\left(\sin\left(\arccos\left(\cos3x\right)\right)\right)\right)^{-5}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, удовлетворяющие при всех $x,y\in\mathbb{R}$ уравнению\[2(f(x)+f(y))=\max\left\{2f(x+y);\ x-y;\ y-x\right\}.\]
Ответ:
Решение:
Функция $f$, определенная на действительных числах, принимает действительные значения. Известно, что для любых действительных $x$ и $y$ выполнено равенство\[f(x)f(y)=f(7x-y).\]Найдите все такие функции $f$.
Ответ:
Решение:
Найдите все функции $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, для которых существует такое вещественное число $a$, что при всех вещественных $x$, $y$ выполнено равенство\[2f(xy+3)=f(x)f(y)-f(x)-2y+a.\]
Ответ:
Решение:
Функция $F$ определена на множестве троек целых чисел и принимает действительные значения. Известно, что для любых четырёх целых чисел $a$, $b$, $c$ и $n$ выполняются равенства $F(na,nb,nc)=n\cdot F(a,b,c)$, $F(a+n,b+n,c+n)=F(a,b,c)+n$, $F(a,b,c)=F(c,b,a)$. Найдите $F(58,59,60)$.
Ответ:
Решение:
Функция $g$ определена на целых числах и принимает целые значения, причём $g(x)\neq x$ для каждого целого $x$. Назовём число $a$ красивым, если для любого целого числа $x$ выполнено $g(x)=g(a-x)$. Может ли каждое из чисел $739$ и $741$ быть красивым?
Ответ:
Решение:
Найдите все периодические функции $y=f(x)$, удовлетворяющие уравнению \[ f(x)-0{,}5f(x-\pi)=\sin x. \]
Ответ:
Решение:
Найдите функцию $f(x)$, о которой известно, что \[ f(x)=\begin{cases} x\cdot f\left(\frac{2x+3}{x-2}\right)+3 & \text{при } x\neq2,\\ 0 & \text{при } x=2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение: