Точки $K$, $M$, $P$ лежат на сторонах $AB$, $BC$, $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Известно, что $BKPM$ — квадрат, а расстояния от точек $K$ и $M$ до прямой $AC$ равны $13$ и $17$ соответственно. Найдите площадь квадрата $BKPM$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABDF$ на сторонах $BD=2$ и $DF=3$ выбрали точки $C$ и $E$ соответственно, так, что треугольник $AFE$ равен треугольнику $EDC$. Потом от прямоугольника $ABDF$ отрезали треугольники $ABC$, $CDE$ и $AFE$. Найдите углы оставшегося треугольника.
Ответ:
Решение:
На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ выбрана точка $K$, удаленная от прямых $AB$ и $BC$ на расстояния $8$ и $2$ соответственно. Радиус вписанной в треугольник $ABC$ окружности равен $3$. Найдите сторону ромба $ABCD$ и радиус окружности, вписанной в этот ромб.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Найти $AO$, если сторона квадрата равна 1.
Ответ:
Решение:
Точки $E$ и $K$ — соответственно середины сторон $CD$ и $AD$ квадрата $ABCD$. Прямая $BE$ пересекается с прямой $CK$ в точке $O$. Докажите, что вокруг четырехугольника $ABOK$ можно описать окружность. Найти радиус этой окружности, если сторона квадрата равна 1.
Ответ:
Решение:
Угол $A$ ромба $ABCD$ равен $60^\circ$. На продолжениях его сторон $AB$ и $AD$ за точки $B$ и $D$ взяты точки $Q$ и $P$ соответственно так, что прямая $PQ$ проходит через точку $C$. Найдите длину отрезка $BQ$, если $DP=10$, а $DQ:BP=11:10$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$, точка $M$ — середины его стороны $AB$. На чертеже отметили точки $N$ и $K$. Вычислите площадь квадрата $ABCD$, если расстояние $OK=L$.
Ответ:
Решение:
Даны треугольник $ABC$ и ромб $BDEF$, все вершины которого лежат на сторонах треугольника $ABC$, а угол при вершине $E$ — тупой. Найти площадь треугольника $ABC$, если $AE=3$, $CE=7$, а радиус окружности, вписанной в ромб, равен $1$.
Ответ:
Решение:
Сторона ромба $ABCD$ равна $6$. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $BCD$, равно $8$. Найти радиусы этих окружностей.
Ответ:
Решение:
Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD\parallel BC$) пересекаются в точке $O$. Известно, что $OB=15$, $OC=12$, $OD=25$, $CD=\sqrt{769}$. Найдите $AB$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь трапеции $ABCD$ с боковой стороной $BC=5$, если расстояния от вершин $A$ и $D$ до прямой $BC$ равны 3 и 7 соответственно.
Ответ:
Решение:
В трапеции $KLMN$ известны основания $KN=25$, $LM=15$ и боковые стороны $KL=6$, $MN=8$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ известны основания $AD=12$, $BC=7$ и боковые стороны $AB=3$, $CD=4$. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD\parallel BC$ диагонали пересекаются в точке $E$. Известны площади $S(\triangle ADE)=12$ и $S(\triangle BCE)=3$. Найдите площадь трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапеции известны длины диагоналей — 6 и 8, а также длина средней линии — 5. Найдите высоту трапеции.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в три раза больше основания $BC$. Через точку $A$ провели прямую, делящую площадь трапеции пополам. В каком отношении она делит сторону $CD$?
Ответ:
Решение:
Даны лежащие в одной плоскости две трапеции $ABCD$ и $AEFD$ с общим основанием $AD=6$ и одинаковыми высотами, равными $8$. При этом $BC=EF=2$, расстояние между точками $C$ и $E$ равно $1$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, а сторон $AE$ и $DF$ — в точке $Q$. Найдите площадь четырехугольника $APQD$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция с основаниями $1$ и $4$ и площадью $S$. Найдите площадь треугольника, образованного диагоналями и меньшим основанием трапеции.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $MKPE$ с основаниями $ME$ и $KP$. $EA$ — расстояние от точки $E$ до прямой $MK$. Найдите тангенс угла $AEM$, если $MK=15$, $KP=11$, $PE=13$, $ME=25$. Ответ запишите в виде десятичной дроби.
Ответ:
Решение: