Вычислить предел: $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 1} - \sqrt{x^2 - 3x + 6}}{x^2 + x - 2}$$
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислить предел:
$$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 6} - \sqrt{x^2 - x + 3}}{x^2 - 4x + 3}$$
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Вычислить предел:
$$\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^2 - x + 4} - \sqrt{x^2 - 2x + 8}}{x^2 - 5x + 4}$$
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Как устроить полустанок? (старинная задача) В стороне от прямолинейного участка железнодорожного пути, в 20 км от него, лежит селение В. Где надо устроить полустанок С, чтобы суммарно проезд от А до В по железной дороге АС и по шоссе СВ отнимал возможно меньше времени? Скорость движения по железной дороге 0,8, а по шоссе 0,2 км в минуту.
Ответ:
Решение:
На произвольной параболе даны точки $A$ и $B$. Точка $C$ выбрана на дуге параболы между $A$ и $B$, так, что треугольник $ABC$ имеет максимальную площадь. Прямая, проходящая через точку $C$ параллельно оси симметрии параболы, пересекает отрезок $AB$ в точке $M$. Найдите отношение $AM:MB$.
Ответ:
Решение:
Какое наименьшее расстояние может быть между двумя точками, одна из которых лежит на графике функции $y=x^2$, другая — на кривой, заданной уравнением \[ 4x^2+4y^2-48x-24y+163=0. \] В ответ запишите квадрат найденного расстояния.
Ответ:
Решение:
Найти координаты точки $M$, наименее удаленной от начала координат и лежащей на параболе $y=x^2-4x+3{,}5$.
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее значение функции \[ f(x)=\sin(x+\sin x)+\sin(x-\sin x)+\Bigl(\dfrac{\pi}{2}-2\Bigr)\sin\sin x. \]
Ответ:
Решение:
Про функции $p(x)$ и $q(x)$ известно, что $p(0)=q(0)\gt 0$ и $p'(x)\sqrt{q'(x)}=\sqrt{2}$ для любого $x\in[0;1]$. Докажите, что если $x\in[0;1]$, то $p(x)+2q(x)\gt 3x$.
Ответ:
Решение:
Из точки $M$ проведены две перпендикулярные друг другу касательные к параболе \[ y=x^2+3x+2. \] Найдите минимально возможную ординату точки $M$.
Ответ:
Решение: