К графикам функций $y=\cos x$ и $y=a\operatorname{tg} x$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a\ne 0$.
Ответ:
Решение:
Известно, что графики функций $f(x)=x^p$ и $g(x)=\ln x$ касаются (имеют общую точку, в которой касательные к обоим графикам совпадают). Найдите константу $p$ и точку касания.
Ответ:
Решение:
Функция $y=f(x)$ такова, что $f\left(\frac{x+1}{x-1}\right)=\frac{1}{x-1}$. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции \[ g(x)=\underbrace{f(f(\ldots f(x)))}_{10} \] в точке $x=0$.
Ответ:
Решение:
На оси $Oy$ найдите точку $M$, через которую проходят две касательные к графику функции $y=0{,}5\left(x-(1/2)\right)^2$, угол между которыми равен $45^\circ$.
Ответ:
Решение:
На прямой $x=1$ найдите точку $M$, через которую проходят две касательные к графику функции $y=x^2/4$, угол между которыми равен $45^\circ$.
Ответ:
Решение:
Графику функции $y=-x^3+ax^2+bx+c$ принадлежат точки $A$ и $B$, симметричные относительно прямой $x=2$. Касательные к этому графику в точках $A$ и $B$ параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку $(0;2)$, а другая — через точку $(0;6)$. Найти значения $a$, $b$ и $c$.
Ответ:
Решение:
График функции\[y(x)=-x^4+10x^3-33x^2+\frac{124}{3}x-13\]имеет две точки максимума и одну точку минимума. К графику провели касательную с двумя точками касания. Найдите длину отрезка касательной между точками касания.
Ответ:
Решение:
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не обозначенным масштабом и график функции $y=\sin x$, $x\in(0;\alpha)$. Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если:
а) $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$;
б) $\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$?
а) $\alpha\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right)$;
б) $\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$?
Ответ:
Решение:
Парабола $\Pi_2$ симметрична параболе $\Pi_1$ $y=ax^2$, $a\lt 0$ относительно точки $N(b;ab^2)$, где $b\gt 0$. Некоторая прямая пересекает каждую из парабол ровно в одной точке: $\Pi_1$ — в точке $B_1$, $\Pi_2$ — в точке $B_2$ так, что угол $B_1B_2N$ — прямой. Касательная к параболе $\Pi_1$, проведенная в точке $B_1$, пересекает отрезок $B_2N$ в точке $L$. Определить, в каком отношении точка $L$ делит отрезок $B_2N$. Найти значения параметров $a$ и $b$, при которых длина отрезка $B_1L$ минимальна, если площадь треугольника $B_1B_2N$ равна $\frac13$.
Ответ:
Решение:
График функции $y=x^3+ax^2+bx+c$, $c\lt 0$ пересекает ось ординат в точке $A$ и имеет ровно две общие точки $M$ и $N$ с осью абсцисс. Прямая, касающаяся этого графика в точке $M$, проходит через точку $A$. Найти $a$, $b$, $c$, если площадь треугольника $AMN$ равна $1$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем значении параметра $a$ функция $2x^3+18x^2+ax+5$ будет возрастать на всей числовой оси?
Ответ:
Решение:
Скорость движения тела на прямой изменяется по закону $v(t)=A|\sin(\alpha t)|$, $t\geqslant0$ с некоторыми константами $A\gt 0$ и $0\lt \alpha\lt 0{,}2$. Известно, что за каждые $20$ сек. точка проходит путь $2$ м. Какой путь пройдет тело спустя $65$ сек. после начала движения?
Ответ:
Решение:
Область $G$ на плоскости, ограниченная двумя параболами $y=-2x^2+x$ и $y=x^2+px+q$, имеет площадь $112$. Вертикальная прямая $x=2$ разбивает ее на две равновеликие части. Найдите $p$ и $q$.
Ответ:
Решение:
Фигура $M$ на плоскости $(x,y)$ ограничена графиками функций $y=3e^{ax}$ и $y=7-2e^{-ax}$ и имеет единственную общую точку с прямой $y=9x+3$. Найти $a$ и площадь фигуры $M$.
Ответ:
Решение:
График функции $y=f(x)$, где $f(x)=-2x^3-8ax^2-4a^2x+5$, $a\lt 0$, и прямая $l$, заданная уравнением $y=4a^2x+5$, имеют ровно две общие точки.
1) Найти $a$, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ и прямой $l$, равна $\frac{27}{2}$.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции $y=f(x)$ в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось $Oy$ в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.
1) Найти $a$, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ и прямой $l$, равна $\frac{27}{2}$.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции $y=f(x)$ в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось $Oy$ в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.
Ответ:
Решение:
Пусть $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ — непрерывная функция. Хордой будем называть отрезок целой длины, параллельный оси абсцисс, концы которого лежат на графике функции $f$. Известно, что у графика функции $f$ ровно $N$ хорд, причём среди них есть хорда длины 2025. Найдите наименьшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисованы графики функций $y=\sin x$ и $y=\operatorname{tg}x$, а также оси координат. Как циркулем и линейкой построить какую-нибудь прямую, которая касается графика синуса как выше оси абсцисс ($Ox$), так и ниже (и, возможно, имеет ещё несколько точек пересечения)?
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — ненулевой многочлен степени $n$ с неотрицательными коэффициентами такой, что функция $y=P(x)$ — нечетная. Может ли оказаться так, что для различных точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ на графике $G$: $y=P(x)$ выполняются условия: касательная к графику $G$ в точке $A_1$ проходит через точку $A_2$, касательная в точке $A_2$ проходит через точку $A_3$, $\ldots$, касательная в точке $A_n$ — через точку $A_1$?
Ответ:
Решение: