Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$ и описан около окружности с центром $I$. Точка $B'$, симметричная точке $B$ относительно прямой $OI$, лежит внутри угла $ABI$. Докажите, что касательные к окружности, описанной около треугольника $BB'I$, проведённые в точках $B'$ и $I$, пересекаются на прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ вписана в треугольник $ABC$, в котором $AB\lt AC$. Вневписанная окружность этого треугольника касается стороны $BC$ в точке $A'$. Точка $X$ выбирается на отрезке $A'A$ так, что отрезок $A'X$ не пересекает $\omega$. Касательные, проведённые из $X$ к $\omega$, пересекают отрезок $BC$ в точках $Y$ и $Z$. Докажите, что сумма $XY+XZ$ не зависит от выбора точки $X$.
Ответ:
Решение:
В неравнобедренном треугольнике $ABC$ провели биссектрисы угла $ABC$ и угла, смежного с ним. Они пересекли прямую $AC$ в точках $B_1$ и $B_2$ соответственно. Из точек $B_1$ и $B_2$ провели касательные к окружности, вписанной в треугольник $ABC$, отличные от прямой $AC$. Они касаются этой окружности в точках $K_1$ и $K_2$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $K_1$ и $K_2$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
Неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность $\omega$. Касательная к этой окружности в точке $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Прямые $AI$ и $BI$ пересекают биссектрису угла $CDB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Пусть $M$ — середина отрезка $PQ$. Докажите, что прямая $MI$ проходит через середину дуги $ACB$ окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Два равных прямоугольника $ABCX$ и $DEFX$ расположены так, как на рисунке. Найдите расстояние от середины отрезка $AF$ до центра описанной окружности треугольника $XCD$, если известно, что $CD=5$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Пусть точка $I$ — центр его вписанной окружности, а точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Оказалось, что $\angle PIQ+\angle BIC=180^\circ$. Найдите длину отрезка $BC$, если $AB=20$ и $AC=14$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $AD$. Вписанные окружности треугольников $ABD$ и $ACD$ касаются $AD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно и касаются $BC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть прямые $PX$ и $QY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите площадь треугольника $XYZ$, если известно, что $BC=22$, $AD=12$, а периметр треугольника $ABC$ равен 56.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $MKN$ проведена биссектриса $KL$. Точка $X$ на стороне $MK$ такова, что $KX=KN$. Докажите, что прямые $KO$ и $XL$ перпендикулярны ($O$ — центр описанной окружности треугольника $MKN$).
Ответ:
Решение:
Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB=BC$) равен основанию $AC$. На основании $AC$ построен квадрат $AKLC$ так, что отрезок $KL$ пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник $BKL$ равносторонний.
Ответ:
Решение:
На рисунке ниже
- три синие фигуры — квадраты;
- оранжевая фигура — квадрат со стороной 18;
- точка $A$ — центр зелёной окружности;
- точка $B$ — центр красной окружности.
Ответ:
Решение:
Вася нарисовал на доске замкнутую кривую $ABCD$, состоящую из четырёх звеньев: $AB$ — дуга окружности, меньшая полуокружности, $BC$ — отрезок, $CD$ — дуга окружности, большая полуокружности, $DA$ — отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали. Какие тогда будут углы у дуг $AB$ и $DC$? Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.
Ответ:
Решение:
Газонокосильщик участвует в гонке по трассе указанной формы (состоит из двух дуг окружностей и касающихся их прямых, радиусы окружностей 4 и 1, расстояние между центрами окружностей равно 6). Саму косилку можно считать маленькой, точкой. Скошенную траву она отбрасывает на расстояние 1.5 в сторону, направо, перпендикулярно направлению своего движения. Косилка ездит по часовой стрелке, соответственно, скошенная трава окажется внутри трассы. После того, как газонокосильщик завершил круг, внутри трассы вырисовалась замкнутая дорожка из скошенной травы. Найдите её длину.
Ответ:
Решение:
Две кольцевые трассы $\alpha$ и $\beta$ одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе $\alpha$ по часовой стрелке едет автомобиль $A$, по трассе $\beta$ против часовой стрелки едет автомобиль $B$. В момент старта автомобили $A$ и $B$ находятся на одной прямой с центром трассы $\alpha$, причём эта прямая касается трассы $\beta$. После старта автомобили начинают приближаться к точке касания трасс. Каждый автомобиль проезжает полный круг по своей трассе за один час (и никогда не переезжает на другую трассу). Сколько времени из этого часа расстояние между автомобилями будет не меньше диаметра каждой трассы?
Ответ:
Решение:
На дуге полукруга с центром $O$ и диаметром $MN$ взята точка $K$. Построен равносторонний треугольник $ABC$ с длиной стороны, равной радиусу полукруга, так, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите $\angle MOK$.
Ответ:
Решение:
Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$, радиусы которых 1 и $\sqrt2$, соответственно. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно 2. Найти длину хорды $AC$ окружности $\omega_2$, середина которой лежит на окружности $\omega_1$. В ответ запишите квадрат длины хорды $AC$.
Ответ:
Решение:
На дуге полукруга с диаметром $MN$ и центром $O$ взята точка $K$. Построен треугольник $ABC$ такой, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите отношение площади сектора $MOK$ к площади полукруга, если известно, что $AC=BC=OM$ и $\angle ACB=72^\circ$.
Ответ:
Решение:
Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ лежат внутри треугольника $ABC$, в котором $AB=BC=l$, $AC=2$, а радиус $\omega_1$ в два раза больше радиуса $\omega_2$. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ касаются внешним образом, причём $\omega_1$ касается сторон $AB$ и $AC$, а $\omega_2$ — сторон $BC$ и $AC$ треугольника $ABC$. Найти радиус окружности $\omega_1$, если $l=6$. Найти все значения $l$, при которых существуют указанные окружности.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность $O$ радиуса $R$, точки $K$, $L$ и $M$ — середины отрезков $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Окружности $O_1$, $O_2$ и $O_3$ проведены через точки $K$, $L$ и $M$ соответственно, касаются окружности $O$ и каждая имеет с треугольником $ABC$ единственную общую точку. Найти радиус окружности $O_3$, если радиусы окружностей $O_1$ и $O_2$ равны $\frac13R$ и $\frac14R$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Через центр $O$ окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведена прямая, параллельная $BC$ и пересекающая стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Окружность $\omega$ проходит через точки $B_1$, $C_1$ и касается $\Omega$ в точке $K$. Найти угол между прямыми $AK$ и $BC$. Найти площадь треугольника $ABC$ и радиус окружности $\Omega$, если $B_1C_1=6$, $AK=6$, а расстояние между прямыми $BC$ и $B_1C_1$ равно 2.
Ответ:
Решение:
Сотовая связь — это целый мир возможностей. Но чтобы пользоваться ими, нужно быть в зоне действия базовой станции. Сети GSM (2G) имеют мощность, которая позволяет покрывать территорию радиусом до 35 километров на открытой местности. В городских условиях, где много зданий, зона приёма сигнала значительно уменьшается. Сети 3G и 4G (LTE) работают на более высоких частотах, чем сети 2G, и их сигнал хуже проникает сквозь препятствия и больше подвержен помехам. В сетях GSM было достаточно нескольких вышек, чтобы покрывать большие территории, а для 3G и 4G сетей для обеспечения надежной связи требуется больше вышек. В городе установлен ретранслятор GSM сети, который обеспечивает покрытие в пределах окружности радиусом $R=24$ км. Центр окружности — основание вышки. Однако из-за особенностей рельефа зона покрытия этого ретранслятора ограничена хордой, проведённой внутри этой окружности. Хорда находится на расстоянии $d=3$ км от центра окружности. В меньшем сегменте, образованном хордой, необходимо установить два дополнительных ретранслятора (3G вышки) так, чтобы их зоны покрытия касались друг друга, хорды и основной окружности. Каждый из этих ретрансляторов имеет круговую зону покрытия одинакового радиуса $r$. Найдите радиусы зон покрытия двух дополнительных ретрансляторов, которые нужно установить в меньшем сегменте. Определите площадь части меньшего сегмента, которая не попадает в зону действия дополнительных ретрансляторов.
Ответ:
Решение: