График функции $y=f(x)$, где $f(x)=-2x^3-8ax^2-4a^2x+5$, $a\lt 0$, и прямая $l$, заданная уравнением $y=4a^2x+5$, имеют ровно две общие точки.
1) Найти $a$, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ и прямой $l$, равна $\frac{27}{2}$.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции $y=f(x)$ в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось $Oy$ в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.
1) Найти $a$, если площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$ и прямой $l$, равна $\frac{27}{2}$.
2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции $y=f(x)$ в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось $Oy$ в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.
Ответ:
Решение:
Фигура $M$ на плоскости $(x,y)$ ограничена графиками функций $y=3e^{ax}$ и $y=7-2e^{-ax}$ и имеет единственную общую точку с прямой $y=9x+3$. Найти $a$ и площадь фигуры $M$.
Ответ:
Решение:
Область $G$ на плоскости, ограниченная двумя параболами $y=-2x^2+x$ и $y=x^2+px+q$, имеет площадь $112$. Вертикальная прямая $x=2$ разбивает ее на две равновеликие части. Найдите $p$ и $q$.
Ответ:
Решение:
Скорость движения тела на прямой изменяется по закону $v(t)=A|\sin(\alpha t)|$, $t\geqslant0$ с некоторыми константами $A\gt 0$ и $0\lt \alpha\lt 0{,}2$. Известно, что за каждые $20$ сек. точка проходит путь $2$ м. Какой путь пройдет тело спустя $65$ сек. после начала движения?
Ответ:
Решение:
Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции $y=\cos \pi x$ на отрезке $\displaystyle -\frac12\leqslant x\leqslant\frac12$.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функции $\displaystyle y=\frac{4}{x}$ и $y=-x^2+4x+1$. Сделать чертёж.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y=x^2+4x+3$ и $y=5-|x+2|$. Сделать чертёж.
Ответ:
Решение:
Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=\ln x$, прямой $x=e$ и осью абсцисс.
Ответ:
Решение:
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$ и $y=2{,}5-2x^2$. Сделайте чертеж.
Ответ:
Решение:
Найти силу взаимодействия тонкого диска массы $M$ радиуса $r$ и материальной точки массы $m$, расположенной на прямой, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости и удалённой на расстояние $a$ от центра кольца.
Ответ:
Решение:
Найти силу взаимодействия кольца массы $M$ радиуса $r$ и материальной точки массы $m$, расположенной на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости и удалённой на расстояние $a$ от центра кольца.
Ответ:
Решение:
Найти силу взаимодействия полукольца массы $M$ радиуса $r$ и материальной точки массы $m$, расположенной в центре кольца.
Ответ:
Решение:
Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого равна $S$, а высота $H$, плавает на поверхности воды. Плотность дерева $\rho$. Какую работу нужно затратить, чтобы поплавок целиком погрузить в воду?
Ответ:
Решение:
Треугольная пластина, основание которой равно $a$, а высота $h$, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью $\omega$. Толщина пластинки равна $d$, плотность материала $\rho$. Найти кинетическую энергию вращения.
Ответ:
Решение:
Найти силу давления воды на полукруг радиуса $R$, погруженный вертикально в воду так, что он касается поверхности воды, а его диаметр параллелен поверхности воды.
Ответ:
Решение:
Найти силу давления воды на круглую пластину радиуса $R$, погруженную вертикально в воду так, что она касается поверхности воды.
Ответ:
Решение:
Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=\sin x$ и прямыми $x=0$, $x=\pi$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=(|x|-1)^2$, $y=4-|x-1|$ и прямой $x=2$. Сделайте чертёж.
Ответ:
Решение: