Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$. Известно, что треугольники $ADP$ и $QAB$ подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник $ABCD$ можно вписать в окружность радиуса 7.
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
а) Найдите $AC$.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$, касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK:KT:TA=6:1:7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$). Найдите $\angle DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ равных радиусов с центрами $O_1$ и $O_2$ вписаны в углы $ABC$ и $ADC$ соответственно, при этом первая касается стороны $BC$ в точке $K$, а вторая касается стороны $AD$ в точке $T$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $BK=3\sqrt{3}$, $DT=\sqrt{3}$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $BK=3\sqrt{3}$, $DT=\sqrt{3}$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Две окружности $\Omega_1$ и $\Omega_2$ равных радиусов с центрами $O_1$ и $O_2$ вписаны в углы $BAD$ и $BCD$ соответственно, при этом первая касается стороны $AD$ в точке $K$, а вторая касается стороны $BC$ в точке $T$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $AK=2$, $CT=8$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_2$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.
а) Найдите радиус окружности $\Omega_1$, если $AK=2$, $CT=8$.
б) Пусть дополнительно известно, что точка $O_2$ является центром окружности, описанной около треугольника $BOC$. Найдите угол $BDC$.
Ответ:
Решение:
Четырехугольник, один из углов которого равен $\operatorname{arctg}(4/3)$, вписан в окружность радиуса $\sqrt6$ и описан около окружности радиуса 1. Найти площадь четырехугольника и угол между его диагоналями.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ длины сторон $AB$ и $BC$ равны, $DB$ — биссектриса угла $ADC$, $AD:DC=4:3$. Найдите косинус угла $AKB$, если $K$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, и $BK:KD=1:3$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что площадь треугольника $ADE$ равна $0{,}5$. Вписанная в четырехугольник $BDEC$ окружность касается стороны $AB$ в точке $K$, причем $AK=3$. Найдите тангенс угла $BAC$, если около четырехугольника $BDEC$ можно описать окружность, и $BC=15$.
Ответ:
Решение:
В окружность с центром $O$ вписан четырёхугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $M$, причём $AM=4$, $AB=6$. Определите, какой может быть наименьшая длина диагонали $BD$, если известно, что стороны $AB$ и $AD$ равноудалены от точки $O$.
Ответ:
Решение:
Вокруг четырёхугольника $ABCD$ описана окружность с центром в точке $O$. Известно, что диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника перпендикулярны, $AB=4$, $DC=5$. Какие значения может принимать площадь треугольника $AOB$?
Ответ:
Решение:
В окружность радиуса 3 вписан четырёхугольник, три стороны которого равны $3$, $3$, $3\sqrt{2}$. Найдите максимально возможную площадь такого четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
Из отрезков длин 3, 5, 7 и 9 составлен четырёхугольник, в который вписана окружность. К ней проведены две касательные: одна пересекает одну пару соседних сторон четырёхугольника, а другая — пару оставшихся. Найдите разность периметров треугольников, отсечённых от четырёхугольника этими касательными.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Касательные к этой окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекаются на прямой $BD$. Найдите сторону $AD$, если $AB=2$ и $BC:CD=4:5$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD$, пересекающий $AC$ в точке $O$. Найдите $AO$, если $AB=4$, $OC=6$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ окружности являются вершинами четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны. Длины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника равны $\sqrt{21}$, $3$, $2$ и $4$ соответственно. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Длина стороны $AD$ четырехугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равна $5$. Точка $M$ делит эту сторону в отношении $AM:MD=1:4$, а прямые $MC$ и $MB$ параллельны сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Найти длину стороны $BC$ четырехугольника.
Ответ:
Решение:
Известно, что в трапецию с углом $30^\circ$ при основании можно вписать окружность и около нее можно описать окружность. Найти отношение площади трапеции к площади вписанного в нее круга. Найти отношение площади трапеции к площади описанного около нее круга.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Пусть точка $I$ — центр этой окружности. Прямые $a_C$ и $a_D$, проведённые соответственно через точку $C$ параллельно $BI$ и через точку $D$ параллельно $AI$, пересекаются в точке $P$. Найдите $\angle DPI$, если $\angle BCD=100^\circ$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$, а его диагональ $AC$ — биссектриса угла $BAD$. Найдите радиус окружности $\omega$, если $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $AC=\dfrac{3}{2}$, $AD=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$. Ответ округлите до третьего знака после запятой.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является диаметром, а $AB=BD$. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины $C$ до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла $ABD$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $AB$, а $H$ — ортогональная проекция точки $D$ на $AB$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $DH$ в точке $X$. Найдите $CD$, если $DX=20$, $AX=15$, $CX=36$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, известно, что $AB=48$, $BC=60$, $CD=24$, $AD=12$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $F$. Найдите квадрат длины отрезка $EF$.
Ответ:
Решение: