Вокруг четырёхугольника $ABCD$ описана окружность с центром в точке $O$. Известно, что диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника перпендикулярны, $AB=4$, $DC=5$. Какие значения может принимать площадь треугольника $AOB$?
Ответ:
Решение:
В окружность радиуса 3 вписан четырёхугольник, три стороны которого равны $3$, $3$, $3\sqrt{2}$. Найдите максимально возможную площадь такого четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
Из отрезков длин 3, 5, 7 и 9 составлен четырёхугольник, в который вписана окружность. К ней проведены две касательные: одна пересекает одну пару соседних сторон четырёхугольника, а другая — пару оставшихся. Найдите разность периметров треугольников, отсечённых от четырёхугольника этими касательными.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Касательные к этой окружности, проведённые в точках $A$ и $C$, пересекаются на прямой $BD$. Найдите сторону $AD$, если $AB=2$ и $BC:CD=4:5$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $DB$ перпендикулярны сторонам $DC$ и $AB$ соответственно. Из точки $B$ проведён перпендикуляр на сторону $AD$, пересекающий $AC$ в точке $O$. Найдите $AO$, если $AB=4$, $OC=6$.
Ответ:
Решение:
Точки $A$, $B$, $C$ и $D$ окружности являются вершинами четырехугольника $ABCD$, диагонали которого перпендикулярны. Длины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырехугольника равны $\sqrt{21}$, $3$, $2$ и $4$ соответственно. Найдите площадь четырехугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Длина стороны $AD$ четырехугольника $ABCD$, вписанного в окружность, равна $5$. Точка $M$ делит эту сторону в отношении $AM:MD=1:4$, а прямые $MC$ и $MB$ параллельны сторонам $AB$ и $CD$ соответственно. Найти длину стороны $BC$ четырехугольника.
Ответ:
Решение:
Известно, что в трапецию с углом $30^\circ$ при основании можно вписать окружность и около нее можно описать окружность. Найти отношение площади трапеции к площади вписанного в нее круга. Найти отношение площади трапеции к площади описанного около нее круга.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность. Пусть точка $I$ — центр этой окружности. Прямые $a_C$ и $a_D$, проведённые соответственно через точку $C$ параллельно $BI$ и через точку $D$ параллельно $AI$, пересекаются в точке $P$. Найдите $\angle DPI$, если $\angle BCD=100^\circ$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega$, а его диагональ $AC$ — биссектриса угла $BAD$. Найдите радиус окружности $\omega$, если $AB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $AC=\dfrac{3}{2}$, $AD=\dfrac{5\sqrt{2}}{4}$. Ответ округлите до третьего знака после запятой.
Ответ:
Решение:
Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является диаметром, а $AB=BD$. Известно, что радиус его описанной окружности равен 5, а расстояние от вершины $C$ до точки пересечения диагоналей равно 1. Найдите косинус угла $ABD$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с диаметром $AB$, а $H$ — ортогональная проекция точки $D$ на $AB$. Диагональ $AC$ пересекает отрезок $DH$ в точке $X$. Найдите $CD$, если $DX=20$, $AX=15$, $CX=36$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$, вписанном в окружность, известно, что $AB=48$, $BC=60$, $CD=24$, $AD=12$. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$, а прямые $AD$ и $BC$ — в точке $F$. Найдите квадрат длины отрезка $EF$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 10 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\parallel B_1D_1$, $BD\parallel A_1C_1$. Найдите отношение площадей $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=16$, $BC=12$.
Ответ:
Решение:
В окружность $\Omega$ радиуса 13 вписаны трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$) и прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$ таким образом, что $AC\perp B_1D_1$, $BD\perp A_1C_1$. Найдите отношение площади $ABCD$ к площади $A_1B_1C_1D_1$, если известно, что $AD=10$, $BC=24$.
Ответ:
Решение:
Диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность, пересекаются в точке $P$. Известно, что расстояния от точки $P$ до сторон $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ равны $4$, $\sqrt3$, $\frac{8}{\sqrt{19}}$ и $8\sqrt{\frac{3}{19}}$ соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки $P$ на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
а) Найдите отношение $AP:PC$.
б) Найдите длину диагонали $BD$, если дополнительно известно, что $AC=10$.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность. Длины её боковых сторон $AB$ и $CD$ равны соответственно $3$ и $5$, а длина основания $AD$ больше длины $BC$. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно $5/11$. Найдите радиус вписанной в трапецию окружности и длины её диагоналей.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ лежит на описанной около правильного треугольника $ABC$ окружности и не совпадает с его вершинами. Докажите, что сумма расстояний от точки $M$ до прилегающих вершин треугольника равна расстоянию от точки $M$ до третьей его вершины: $AM+CM=BM$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=2$, $BC=4$, $CD=5$ вписали окружность и вокруг него описали окружность. Найдите площадь четырёхугольника.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность с центром $O$, при этом $\angle AOB=75^\circ$, $AB=3$. Найдите площадь круга, ограниченного описанной вокруг треугольника $ABE$ окружностью, где $E$ — точка пересечения прямых $AD$ и $BC$.
Ответ:
Решение: