В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB=10$, $BC=12$ отметили точку $M$ — середину стороны $CD$. На отрезке $BM$ отметили точку $P$ так, что $BC=BP$. Найдите площадь четырехугольника $ABPD$.
Ответ:
Решение:
Длины сторон $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ равны 20 и 23 соответственно. Пусть $M$ — середина стороны $CD$ и пусть $X$ — такая точка на плоскости, что $A$ — середина отрезка $XM$. Найдите площадь треугольника $XBD$.
Ответ:
Решение:
Два равных прямоугольника имеют общую вершину и наложены друг на друга как на рисунке.
1. Найдите вторую сторону прямоугольника.
2. Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
1. Найдите вторую сторону прямоугольника.
2. Найдите площадь закрашенной серым цветом части.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AD$ прямоугольника $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AN=7$, $NC=39$, $AM=12$, $MB=3$.
1. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.
2. Найдите площадь треугольника $MNC$.
1. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$.
2. Найдите площадь треугольника $MNC$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольник $ABCD$. Прямая, проходящая через вершину $A$ и точку $K$ на стороне $BC$, делит весь прямоугольник на две части, площадь одной из которых в 5 раз меньше площади другой. Найдите длину отрезка $KC$, если $AD=60$.
Ответ:
Решение:
На прямоугольном листе бумаги нарисовали картинку в форме «креста» из двух прямоугольников $ABCD$ и $EFGH$, стороны которых параллельны краям листа. Известно, что $AB=9$, $BC=5$, $EF=3$, $FG=10$. Найдите площадь четырёхугольника $AFCH$.
Ответ:
Решение:
Крест, состоящий из двух одинаковых больших и двух одинаковых маленьких квадратов, поместили внутрь ещё большего квадрата. Вычислите в сантиметрах сторону самого большого квадрата, если площадь креста — 810 см$^2$.
Ответ:
Решение:
На рисунке слева направо изображены пересекающиеся квадраты со сторонами 12, 9, 7, 3 соответственно. На сколько сумма чёрных площадей больше, чем сумма серых площадей?
Ответ:
Решение:
В квадрате $ABCD$ точки $E$ и $F$ — середины сторон $BC$ и $CD$ соответственно. Отрезки $AE$ и $BF$ пересекаются в точке $G$. Что больше: площадь треугольника $AGF$ или площадь четырёхугольника $GECF$?
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольник $ABCD$. Точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $K$ — середина стороны $BC$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $E$. Во сколько раз площадь четырехугольника $MBKE$ меньше площади четырехугольника $AECD$?
Ответ:
Решение:
Площадь квадрата, изображённого на рисунке, равна 200 см$^2$. Точка $O$ — центр квадрата, а точка $M$ — середина его стороны. Чему равна площадь серой части?
Ответ:
Решение:
На плоскости даны квадрат и правильный треугольник такие, что площадь каждой из этих двух фигур численно равна периметру другой. Найдите сторону данного квадрата.
Ответ:
Решение:
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle A=60^\circ$. На стороне $BC$ отмечены точки $X$ и $Y$ таким образом, что $2BX=AB$ и $2CY=AC$. Докажите, что существует окружность, проходящая через точки $X$ и $Y$, которая касается вписанной и одной из вневписанных окружностей треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Медианы остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$. На стороне $BC$ отмечены точки $K$ и $N$ так, что $BK=KN=NC$. Высоты треугольника $MKN$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков $AH$, $BH$ и $CH$, касается описанной окружности треугольника $MKN$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle BAC=60^\circ$. Точки $D$ и $E$ симметричны его центру описанной окружности $O$ относительно сторон $AB$ и $AC$ соответственно. Прямая $DE$ пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников $BDF$ и $CEG$ касаются.
Ответ:
Решение:
Остроугольный неравнобедренный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, а его высоты пересекаются в точке $H$. Касательные к окружности $(BHC)$ в точке $B$, к окружности $(AHB)$ в точке $A$ и к окружности $(CHA)$ в точке $C$ ограничивают треугольник $T_1$. Касательные к окружности $(BHC)$ в точке $C$, к окружности $(AHB)$ в точке $B$ и к окружности $(CHA)$ в точке $A$ образуют треугольник $T_2$. Пусть $I_1$ и $I_2$ — центры вписанных окружностей треугольников $T_1$ и $T_2$ соответственно. Докажите, что $HI_1OI_2$ — параллелограмм, либо точки $H$, $I_1$, $O$, $I_2$ лежат на одной прямой. (Здесь под окружностью $(XYZ)$ мы понимаем окружность, описанную вокруг треугольника $XYZ$.)
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Точки касания описанных окружностей треугольников $ABE$ и $CDE$ с их общими внешними касательными лежат на окружности $\omega$. Точки касания описанных окружностей треугольников $ADE$ и $BCE$ с их общими внешними касательными лежат на окружности $\gamma$. Докажите, что центры окружностей $\omega$ и $\gamma$ совпадают.
Ответ:
Решение:
На периметре треугольника $ABC$ выбраны точки $D_1$, $D_2$, $E_1$, $E_2$, $F_1$, $F_2$ так, что при обходе периметра точки встречаются в порядке $A$, $F_1$, $F_2$, $B$, $D_1$, $D_2$, $C$, $E_1$, $E_2$. Оказалось, что \[ AD_1=AD_2=BE_1=BE_2=CF_1=CF_2. \] Докажите, что периметры треугольников, образованных тройками прямых $AD_1$, $BE_1$, $CF_1$ и $AD_2$, $BE_2$, $CF_2$, равны.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $P$. На отрезке $AB$ отмечена точка $Q$, а на отрезке $AC$ — точка $R$ так, что описанные окружности треугольников $BPQ$ и $CPR$ касаются прямой $AP$. Через точки $B$ и $C$ провели прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника $BPC$, а через точки $Q$ и $R$ — прямые, проходящие через центр описанной окружности треугольника $PQR$. Докажите, что существует окружность, которая касается четырёх проведённых прямых.
Ответ:
Решение: