В равнобедренном треугольнике $ABC$ на высоте $BH$, равной основанию $AC$, как на диаметре, построена окружность, пересекающая боковую сторону $BC$ в точке $F$. Каково отношение площади треугольника $FCH$ к площади треугольника $ABC$? Какая часть площади треугольника $ABC$ находится внутри окружности?
Ответ:
Решение:
В равносторонний треугольник $ABC$ вписан равносторонний треугольник $DEF$ (см. рис.). Треугольники $AGD$ и $BFH$ — прямоугольные, катеты $GD$ и $FH$ параллельны прямой $AB$. Площадь треугольника $AGD$ равна $9$, а треугольника $BFH$ — $1$. Найдите площадь треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ со стороной 9 и квадрат $DEFG$ со стороной $\pi$ имеют общую вершину $D$, при этом точка $E$ лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма $AMNF$, если точка $C$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в отношении $1:\pi$.
Ответ:
Решение:
Угол $B$ при вершине равнобедренного треугольника $ABC$ равен $120^\circ$. Из вершины $B$ выпустили внутрь треугольника два луча под углом $60^\circ$ друг к другу, которые, отразившись от основания $AC$ в точках $P$ и $Q$, попали на боковые стороны в точки $M$ и $N$ (см. рисунок). Докажите, что площадь треугольника $PBQ$ равна сумме площадей треугольников $AMP$ и $CNQ$.
Ответ:
Решение:
На дуге полукруга с диаметром $MN$ и центром $O$ взята точка $K$. Построен треугольник $ABC$ такой, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите отношение площади сектора $MOK$ к площади полукруга, если известно, что $AC=BC=OM$ и $\angle ACB=72^\circ$.
Ответ:
Решение:
Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$, радиусы которых 1 и $\sqrt2$, соответственно. Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$, причем расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно 2. Найти длину хорды $AC$ окружности $\omega_2$, середина которой лежит на окружности $\omega_1$. В ответ запишите квадрат длины хорды $AC$.
Ответ:
Решение:
На дуге полукруга с центром $O$ и диаметром $MN$ взята точка $K$. Построен равносторонний треугольник $ABC$ с длиной стороны, равной радиусу полукруга, так, что его вершина $A$ лежит на отрезке $OK$, вершина $B$ — на отрезке $ON$, вершина $C$ — на дуге $KN$. Найдите $\angle MOK$.
Ответ:
Решение:
Две кольцевые трассы $\alpha$ и $\beta$ одинакового радиуса касаются друг друга. По трассе $\alpha$ по часовой стрелке едет автомобиль $A$, по трассе $\beta$ против часовой стрелки едет автомобиль $B$. В момент старта автомобили $A$ и $B$ находятся на одной прямой с центром трассы $\alpha$, причём эта прямая касается трассы $\beta$. После старта автомобили начинают приближаться к точке касания трасс. Каждый автомобиль проезжает полный круг по своей трассе за один час (и никогда не переезжает на другую трассу). Сколько времени из этого часа расстояние между автомобилями будет не меньше диаметра каждой трассы?
Ответ:
Решение:
Газонокосильщик участвует в гонке по трассе указанной формы (состоит из двух дуг окружностей и касающихся их прямых, радиусы окружностей 4 и 1, расстояние между центрами окружностей равно 6). Саму косилку можно считать маленькой, точкой. Скошенную траву она отбрасывает на расстояние 1.5 в сторону, направо, перпендикулярно направлению своего движения. Косилка ездит по часовой стрелке, соответственно, скошенная трава окажется внутри трассы. После того, как газонокосильщик завершил круг, внутри трассы вырисовалась замкнутая дорожка из скошенной травы. Найдите её длину.
Ответ:
Решение:
Вася нарисовал на доске замкнутую кривую $ABCD$, состоящую из четырёх звеньев: $AB$ — дуга окружности, меньшая полуокружности, $BC$ — отрезок, $CD$ — дуга окружности, большая полуокружности, $DA$ — отрезок, таким образом, что любые два соседних звена перпендикулярны друг другу. Петя нарисовал кривую данного вида так, чтобы длины всех звеньев совпадали. Какие тогда будут углы у дуг $AB$ и $DC$? Примечание: прямая перпендикулярна дуге окружности, если прямая перпендикулярна касательной к окружности.
Ответ:
Решение:
Даны два отрезка длины $1$ и $\sqrt2+\sqrt3$ соответственно. С помощью циркуля и линейки без делений построить отрезок длины $\sqrt5$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $\angle BAD=60^\circ$, биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются на стороне $BC$. Найдите $AB$, если $AD=10$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ выполняется соотношение $BC=3AB$. Биссектрисы углов $BAD$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $PQ=5$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ известно, что угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$ и $AC:BD=3:2$. На сторонах параллелограмма взяли последовательно точки $K$, $L$, $M$ и $N$ так, что $KLMN$ — ромб, стороны которого параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площади ромба $KLMN$ к площади параллелограмма $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ сторона $BC$ в $3$ раза больше стороны $AB$. Биссектрисы углов $DAB$ и $ABC$ пересекают прямую $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите периметр параллелограмма $ABCD$, если $MN=10$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ точка $E$ делит пополам сторону $CD$, биссектриса угла $ABC$ пересекает в точке $O$ отрезок $AE$. Найдите площадь четырёхугольника $OBCE$, зная, что $AD=12$, $DE=4$, $\angle ABO=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ окружность радиуса $1/4$ с центром на отрезке $CD$ проходит через точку $D$ и касается отрезка $BC$ в точке $E$ такой, что угол $BED$ равен $\operatorname{arctg}\frac{4}{3}$. Найдите высоту параллелограмма $DF$, проведённую к стороне $BC$, и длину отрезка $CD$. Найдите площадь параллелограмма, если $AB=BE$.
Ответ:
Решение:
Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм с тупым углом $C$. Пусть $E$ — точка пересечения прямой $AB$ с перпендикуляром к $AC$, проходящим через $C$, а прямая $ED$ пересекает диагональ $AC$ в точке $N$. Известно, что $CN=6$, $AN=12$, а $\mathrm{tg}\left(\frac12\angle ADC\right)=\frac45$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.
1. Найдите $\mathrm{tg}\,\angle BAC$.
2. Найдите площадь треугольника $ENA$.
Ответ:
Решение:
Длины сторон параллелограмма равны $3$ и $2$. Биссектрисы всех его внутренних углов ограничивают на плоскости многоугольник. Найти отношение его площади к площади параллелограмма.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина стороны $AD$ параллелограмма $ABCD$. Прямая $CM$ наклонена к основанию $AD$ под углом $30^\circ$. Вершина $B$ равноудалена от прямой $CM$ и вершины $A$. Найти углы параллелограмма. Найти площадь параллелограмма, если длина основания $AD$ равна 2.
Ответ:
Решение: