На боковых сторонах $AB$ и $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ наружу построены равнобедренные прямоугольные треугольники $ABD$ и $BCF$ с катетами, равными соответствующим сторонам $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Прямые $FB$ и $DC$ пересекаются в точке $M$, а $FA$ и $BC$ — в точке $N$. Найдите градусную меру $\angle BMN$.
Ответ:
Решение:
Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги, согнув его несколько раз, и сделать один прямолинейный разрез так, что после разворачивания отрезанная часть превратится
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Для произвольной прямой $\ell$ обозначим через $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$ прямые, симметричные $\ell$ относительно сторон треугольника, а через $I_\ell$ — центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек $I_\ell$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Прямая $l$ касается вписанной в него окружности. Обозначим через $l_a$, $l_b$, $l_c$ прямые, симметричные $l$ относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику $ABC$.
Ответ:
Решение:
Из начала координат проведено $240$ лучей, которые делят координатную плоскость на углы в $1{,}5^\circ$. Известно, что четыре из них совпадают с координатными полуосями. Найдите сумму абсцисс точек пересечения этих лучей с прямой $y=30-x$.
Ответ:
Решение:
Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $155$ и $13$ соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$.
Ответ:
Решение:
Основания $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ равны $65$ и $31$ соответственно, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ является центром окружности, описанной около треугольника $ABC$ со сторонами $BC=8$ и $AC=4$. Найдите длину стороны $AB$, если длина вектора $4\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}-3\overrightarrow{OC}$ равна $10$.
Ответ:
Решение:
Найдите координаты центра и радиус окружности, описанной около четырёхугольника на рисунке, если сторона клетки равна $1$.
Ответ:
Решение:
В параболу $y=2x^2$ вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси $Ox$. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?
Ответ:
Решение:
В параболу $y=0{,}5x^2$ вписан прямоугольный треугольник (то есть все вершины треугольника лежат на параболе), гипотенуза которого параллельна оси $Ox$. Какую наибольшую длину может иметь высота этого треугольника, опущенная на гипотенузу?
Ответ:
Решение:
Хорда $AB$ параболы $y=x^2$ пересекает ось ординат в точке $C$ и делится ею в отношении $AC:CB=2:1$. Найти абсциссы точек $A$ и $B$, если ордината точки $C$ равна $8$.
Ответ:
Решение:
Для испытания новой модели моторного катера выбран участок берега моря, представленный на карте прямой линией. Вдоль этого участка берега проходит прямая трасса, на которой расположен командный пункт. В $2$ км от него в море по линии, перпендикулярной берегу, на рейде стоит корабль. Моторный катер движется в море так, что расстояние от наблюдателя на корабле до катера в любой момент времени совпадает с расстоянием от катера до движущегося по трассе автомобиля наблюдения. При этом в декартовой системе координат с началом в точке $O$ — командном пункте, осью абсцисс, направленной вдоль трассы по ходу движения автомобиля, и осью ординат, направленной на корабль, абсциссы координат автомобиля и катера в каждый момент времени совпадают.
Укажите координаты катера в этой системе координат через четверть часа с момента начала движения автомобиля от командного пункта, если он двигался все время в одном направлении с постоянной скоростью $40$ км/ч.
Укажите координаты катера в этой системе координат через четверть часа с момента начала движения автомобиля от командного пункта, если он двигался все время в одном направлении с постоянной скоростью $40$ км/ч.
Ответ:
Решение:
Вне прямоугольного треугольника $ABC$ на его катетах $AC$ и $BC$ построены квадраты $ACDE$ и $BCFG$. Продолжение медианы $CM$ треугольника $ABC$ пересекает прямую $DF$ в точке $N$. Найдите длину отрезка $CN$, если длины катетов равны 1 и 4.
Ответ:
Решение:
На параболе $y=x^2$ даны две точки: $A$ с абсциссой $-3$ и $B$ с абсциссой $5$. Точка $C$ лежит на дуге $AB$. Найдите максимальную возможную площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Даны парабола $y=4x^2$ и прямая $y=x-0{,}5$. Какую наибольшую площадь может иметь квадрат, две вершины которого лежат на параболе, а две другие — на этой прямой?
Ответ:
Решение:
По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке $(0;0)$. Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках $M_0\left(-2;-2\sqrt7\right)$ и $N_0\left(5;5\sqrt7\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет кратчайшим.
Ответ:
Решение:
По воде вокруг поплавка против часовой стрелки по двум окружностям скользят водомерка и жук-плавунец. На поверхности воды введена прямоугольная система координат, в которой поплавок (общий центр окружностей) находится в точке $(0;0)$. Скорость водомерки в два раза больше скорости жука. В начальный момент времени водомерка и жук находятся в точках $M_0\left(2;2\sqrt7\right)$ и $N_0\left(5;5\sqrt7\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, при которых расстояние между насекомыми будет наибольшим.
Ответ:
Решение:
На столе лежит кусочек сахара, вокруг которого по двум окружностям с одной и той же скоростью ползают муравей и жук. На плоскости стола введена прямоугольная система координат, в которой сахар (общий центр окружностей) находится в точке $O(0;0)$. Муравей двигается по часовой стрелке, а жук — против. В начальный момент времени муравей и жук находятся в точках $M_0\left(-1;\sqrt3\right)$ и $N_0\left(2\sqrt3;2\right)$ соответственно. Определите координаты всех положений жука, в которых расстояние между ним и муравьём будет кратчайшим.
Ответ:
Решение:
Вокруг цветка в одной плоскости с ним по двум окружностям летают шмель и пчела. Скорость пчелы в полтора раза больше скорости шмеля. В указанной плоскости введена прямоугольная система координат, в которой цветок (общий центр окружностей) находится в точке $O(0;0)$. Пчела двигается по часовой стрелке, а шмель — против. В начальный момент времени пчела и шмель находятся в точках $M_0\left(-\frac12;\frac{\sqrt3}{2}\right)$ и $N_0(2;0)$ соответственно. Определите координаты всех положений шмеля, в которых расстояние между ним и пчелой будет кратчайшим.
Ответ:
Решение: