Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, имеющего равные диагонали, если длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны 13 и 7.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $MNK$ на стороне $MN$ взята точка $P$ так, что $MP:PN=2:3$, а на стороне $NK$ отмечена точка $Q$ так, что $NQ:QK=5:4$. Прямые $KP$, $MQ$ пересекаются в точке $O$. Найти площадь треугольника $KOQ$, если известно, что площадь треугольника $MOP$ равна 12.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ на стороне $BC$ отмечены точки $N$ и $M$ так, что \[ BN:NM:MC=1:2:4. \] На стороне $AC$ отмечена точка $P$ так, что $AP:PC=3:2$. Отрезки $AN$ и $BP$ пересекаются в точке $K$, а отрезки $AM$ и $BP$ — в точке $T$. Найдите площадь треугольника $AKT$, если площадь треугольника $ABC$ равна 1035.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ такая, что $BM:MC=2:5$. Биссектриса $BL$ данного треугольника и отрезок $AM$ пересекаются в точке $P$ под углом $90^\circ$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $F$ такая, что $MF:FC=1:4$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LF$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $F$ такая, что $MF:FC=1:4$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LF$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $M$ такая, что $BM:MC=2:7$. Биссектриса $BL$ данного треугольника и отрезок $AM$ пересекаются в точке $P$ под углом $90^\circ$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $T$ такая, что $MT:TC=1:6$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LT$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
а) Найдите отношение площади треугольника $ABP$ к площади четырёхугольника $LPMC$.
б) На отрезке $MC$ отмечена точка $T$ такая, что $MT:TC=1:6$. Пусть дополнительно известно, что прямые $LT$ и $BC$ перпендикулярны. Найдите угол $CBL$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AC=3$ и $BC=14$. Построим треугольник $A_1B_1C_1$, последовательно переместив точку $A$ на некоторое расстояние параллельно отрезку $BC$ (точка $A_1$), затем точку $B$ — параллельно отрезку $A_1C$ (точка $B_1$) и, наконец, точку $C$ — параллельно отрезку $A_1B_1$ (точка $C_1$). Чему равна длина отрезка $B_1C_1$, если оказалось, что угол $A_1B_1C_1$ прямой и $A_1B_1=2$?
Ответ:
Решение:
Точка $M$ расположена внутри треугольника $ABC$; точки $H_1$, $H_2$, $H_3$ — её проекции на стороны $AB$, $BC$, $AC$ соответственно. Известно, что $AB=AC=7\sqrt3$, $BC=2\sqrt{26}$, а площади четырёхугольников $BH_1MH_2$, $CH_2MH_3$, $AH_1MH_3$ равны между собой. Найдите $MH_2$.
Ответ:
Решение:
Точки $E, F, G, H$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ соответственно, а точки $J$, $K$ — середины его диагоналей $BD$ и $AC$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $J$ параллельно $AC$, и прямая, проходящая через точку $K$ параллельно $BD$, пересекаются в точке $N$. Найдите площадь четырёхугольника $AHNE$, если известно, что $3S(DGJH)+5S(EJFB)=11$ (через $S(\Phi)$ обозначена площадь фигуры $\Phi$).
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E, F, G$ и $H$ и соединены отрезками друг с другом и с вершинами параллелограмма, как показано на рисунке. Полученные в результате разбиения параллелограмма многоугольника раскрасили в шахматном порядке. Для всех частей, закрашенных серым цветом, кроме одной, Петя отметил на рисунке их площади $y_1, \ldots, y_6$. Найдите площадь $y_7$ оставшейся серой части.
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E,F,G,H,K$ и $L$, как показано на рисунке. Петя соединил некоторые из точек отрезками и раскрасил полученные многоугольники в шахматном порядке. После этого он написал на всех закрашенных многоугольниках, кроме одного, их площади $x_1,\ldots,x_{11}$. Найдите оставшуюся площадь $x_{12}$.
Ответ:
Решение:
На двух параллельных прямых взяты точки $A,B,C,D,X$, как показано на рисунке. Вася нашёл отношение $BC:AD=x$, после чего отметил точки пересечения медиан $P,Q,R$ соответственно треугольников $BAX$, $CDX$ и $AXD$. Петя вычислил площадь треугольника $PQR$: она оказалась равна $S$. Найдите площадь треугольника $AXD$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отмечены точки $E$ и $F$, а на сторонах $AD$ и $AB$ — их середины $M$ и $N$ соответственно. Петя соединил некоторые из точек и закрасил четыре из полученных многоугольников, как показано на рисунке, после чего на двух из них написал их площади $y$ и $z$, а две другие неизвестные отметил $x$ и $w$. Найдите наименьшее возможное значение разности площадей $x-w$.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет в три раза больше другого, во внешнюю сторону построен правильный треугольник. В каком отношении биссектриса прямого угла делит его площадь?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ площади треугольников $ABD$ и $BCD$ равны, а площадь $ACD$ равна половине площади $ABD$. Найдите длину отрезка $CM$, где $M$ — середина стороны $AB$, если известно, что $AD=12$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяты точки $E$ и $K$, причём точка $E$ лежит между точками $A$ и $K$ и $AE:EK:KC=3:5:4$. Медиана $AD$ пересекает отрезки $BE$ и $BK$ в точках $L$ и $M$ соответственно. Найдите отношение площадей треугольников $BLM$ и $ABC$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Сумма площадей треугольников $AOB$ и $COD$ равна сумме площадей треугольников $BOC$ и $AOD$, а площадь треугольника $BOC$ вдвое больше, чем площадь треугольника $AOB$. Медианы $BK$ и $BL$ треугольников $ABD$ и $DBC$ пересекают отрезок $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найти $KL$, если $NC=4$.
Ответ:
Решение:
Квадрат $ABCD$ со стороной $9$ и квадрат $DEFG$ со стороной $\pi$ имеют общую вершину $D$, при этом точка $E$ лежит на отрезке $CD$. Найдите наибольшее возможное значение площади параллелограмма $AMNF$, если точка $C$ лежит на отрезке $MN$ и делит его в отношении $1:\pi$.
Ответ:
Решение:
Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырёх треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. Окружность, проходящая через точки $C$ и $H$, повторно пересекает отрезки $AC$, $CB$ и $BH$ в точках $Q$, $P$ и $R$ соответственно. Отрезки $HP$ и $CR$ пересекаются в точке $T$. Что больше: площадь треугольника $CPT$ или сумма площадей треугольников $CQH$ и $HTR$?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOB$ и $COD$ равны. Найдите площадь треугольника $AOB$, если известно, что $AB=13$, $BC=10$, $CD=15$, $DA=24$.
Ответ:
Решение: